Радиус на Шварцшилд

Радиусът на Шварцшилд или гравитационен радиус е термин от астрофизиката, характеризиращ всяко физическо тяло, което има маса.^[1] Представлява радиусът на такава сфера, че ако всичката маса на даден обект се компресира в тази сфера, втората космическа скорост на повърхността ѝ би била равна на скоростта на светлината. Ако компактна звезда колапсира до или под този радиус, светлината не би могла да излезе от обекта и вече не би била видима отвън, така образувайки черна дупка.^[2] Това е характерен радиус, свързан с всяко количество маса. Наречен на името на немския учен Карл Шварцшилд, който първи го е изчислил в рамките на Общата теория на относителността.

Радиусът на Шварцшилд се извежда от формулата

r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}

където G е гравитационната константа, M е масата на обекта, а c е скоростта на светлината.^[3]

История

През 1916 г. Карл Шварцшилд намира точното решение^[4]^[5] на Айнщайновите уравнения на полето за гравитационно поле извън неротационно, сферично симетрично тяло (виж метрика на Шварцшилд). Използвайки определението M = Gmc², решението съдържа формата 12M − r, където стойността на $r$ , правеща формата сингулярна, е наречена радиус на Шварцшилд. Физическият смисъл на тази сингулярност, както и дали тя може да възниква в природата, е обект на дебати за много години. Общото приемане на възможността на черна дупка се случва едва към втората половина на 20 век.

Параметри

Радиусът на Шварцшилд на даден обект е пропорционален на масата му. Масата на видимата вселена има радиус на Шварцшилд от около 13,7 милиарда светлинни години.^[6]^[7]

	Радиус на Шварцшилд (m)	Плътност на Шварцшилд (g cm⁻³)
Млечен път	2.08×10¹⁵ (~0.2 ly)	3.72×10^-8
Слънце	2.95×10³	1.84×10¹⁶
Земя	8.87×10^-3	2.04×10²⁷
Sagittarius A*	1.27×10¹⁰
Андромеда	4.68×10¹¹
NGC 4889	6.2×10¹³
Човек (за 70 kg)	5.198×10^-26

Други приложения

В гравитационното забавяне на времето

Гравитационното забавяне на времето близо до голямо, ротационно, почти сферично тяло като Земята или Слънцето може да бъде апроксимирано, използвайки радиуса на Шварцшилд така:

{\frac {t_{r}}{t}}={\sqrt {1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}}

където:

t_r е изминалото време за наблюдател в радиална координата r в гравитационното поле;

t е изминалото време за далечен наблюдател извън гравитационното поле;

r е радиалната координата на наблюдателя (разстояние от центъра на обекта);

r_s е радиусът на Шварцшилд.

В Нютоновите гравитационни полета

Нютоновото гравитационно поле близо до голямо, ротационно, почти сферично тяло може да бъде апроксимирано, използвайки радиуса на Шварцшилд така:

mg={\frac {GMm}{r^{2}}}\quad \Rightarrow \quad gr^{2}=GM

и

r_{\mathrm {s} }={\frac {2GM}{c^{2}}}\quad \Rightarrow \quad r_{\mathrm {s} }c^{2}=2GM

Така, разделяйки горните две:

{\frac {g}{r_{\mathrm {s} }}}\left({\frac {r}{c}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}

където:

g е гравитационното ускорени в радиална координата r;

r_s е радиусът на Шварцшилд на обекта;

r е радиалната координата;

c е скоростта на светлината във вакуум.

На повърхността на Земята:

{\frac {9.80665\ \mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}}{8.870056\ \mathrm {mm} }}\left({\frac {6375416\ \mathrm {m} }{299792458\ \mathrm {m} /\mathrm {s} }}\right)^{2}=\left(1105.59\ \mathrm {s} ^{-2}\right)\left(0.0212661\ \mathrm {s} \right)^{2}={\frac {1}{2}}.

В Кеплерови орбити

За всички кръгови орбити около даден обект;

{\frac {mv^{2}}{r}}={\text{центростремителна сила}}={\text{гравитационна сила}}={\frac {GMm}{r^{2}}}

Следователно,

rv^{2}=GM,

но

r_{\mathrm {s} }c^{2}=2GM

(изведено по-горе)

Следователно,

{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}

където:

r е радиусът на орбитата;

r_s е радиусът на Шварцшилд на обекта;

v е орбиталната скорост;

c е скоростта на светлината във вакуум.

Това може да бъде обобщено и за елиптична орбити така:

{\frac {a}{r_{\mathrm {s} }}}\left({\frac {2\pi a}{cT}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}

където:

a е голямата полуос;

T е орбиталният период.

За Земята, обикаляща около Слънцето:

{\frac {1\,\mathrm {AU} }{2953.25\,\mathrm {m} }}\left({\frac {2\pi \,\mathrm {AU} }{\mathrm {light\,year} }}\right)^{2}=\left(50655379.7\right)\left(9.8714403\times 10^{-9}\right)={\frac {1}{2}}.

Радиус на Шварцшилд за маса на Планк

За масата на Планк $m_{\rm {P}}={\sqrt {\hbar c/G}}$ , радиусът на Шварцшилд $r_{\rm {S}}=2l_{\rm {P}}$ и Комптъновата дължина на вълната $\lambda _{\rm {C}}=2\pi l_{\rm {P}}$ са от същия порядък, като дължината на Планк $l_{\rm {P}}={\sqrt {\hbar G/c^{3}}}$ .

Бележки

↑ hyperphysics.phy-astr.gsu.edu
↑ Chaisson, Eric, and S. McMillan. Astronomy Today. San Francisco, CA: Pearson / Addison Wesley, 2008. Print.
↑ Kutner, Marc. Astronomy: A Physical Perspective. Cambridge University Press, 2003. с. 148.
↑ K. Schwarzschild, „Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie“, Sitzungsberichte der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse fur Mathematik, Physik, und Technik (1916) с. 189.
↑ K. Schwarzschild, „Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flussigkeit nach der Einsteinschen Theorie“, Sitzungsberichte der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse fur Mathematik, Physik, und Technik (1916) с. 424.
↑ Valev, Dimitar. Consequences from conservation of the total density of the universe during the expansion. октомври 2008.
↑ Deza, Michel Marie, Deza, Elena. Encyclopedia of Distances. 2nd. Heidelberg, Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-30958-8. DOI:10.1007/978-3-642-30958-8. с. 452.

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Schwarzschild radius в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.

ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.

[1] yperphysics.phy-astr.gsu.edu

[2] Chaisson, Eric, and S. McMillan. Astronomy Today. San Francisco, CA: Pearson / Addison Wesley, 2008. Print.

[3] Kutner, Marc. Astronomy: A Physical Perspective. Cambridge University Press, 2003. с. 148.

[4] K. Schwarzschild, „Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie“, Sitzungsberichte der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse fur Mathematik, Physik, und Technik (1916) с. 189.

[5] K. Schwarzschild, „Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flussigkeit nach der Einsteinschen Theorie“, Sitzungsberichte der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse fur Mathematik, Physik, und Technik (1916) с. 424.

[Valev-6] Valev, Dimitar. Consequences from conservation of the total density of the universe during the expansion. октомври 2008.

[7] Deza, Michel Marie, Deza, Elena. Encyclopedia of Distances. 2nd. Heidelberg, Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-30958-8. DOI:10.1007/978-3-642-30958-8. с. 452.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]