Ротация на Гивънс

В линейната алгебра ротацията на Гивънс е ротация в равнина, зададена с две координатни оси. Ротацията на Гивънс е въведена като операция в линейната алгебра от Уолъс Гивънс (Wallace Givens) през 1950 г.

Матрично представяне

Ротацията на Гивънс се представя с матрица от следния вид

$G(i,j,\theta )={\begin{bmatrix}1&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots &&\vdots \\0&\cdots &c&\cdots &-s&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\0&\cdots &s&\cdots &c&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &1\end{bmatrix}},$

където c = cos θ and s = sin θ са позиционирани съответно в i-тият и j-ти редове и колони на матрицата. Така различните от нула елементи g на матрицата на Гивънс се дават както следва:

${\begin{aligned}g_{k\,k}&{}=1\qquad {\text{за}}\ k\neq i,\,j\\g_{i\,i}&{}=c\\g_{j\,j}&{}=c\\g_{j\,i}&{}=-s\\g_{i\,j}&{}=s\qquad {\text{за}}\ i>j.\end{aligned}}$ (за j > i s трябва да бъде с обратен знак)

Умножаването на вектор по матрицата на Гивънс G(i, j, θ)x има като резултат ротацията на вектора x в координатната равнина (i, j) на ъгъл  θ радиана.

Основното приложение на матрицата на Гивънс в линейната алгебра е получаването на нулеви стойности на елементи на зададен вектор или матрица. Пример за линейна трансформация, която може да се извърши чрез ротации на Гивънс е QR декомпозицията на матрици. Предимство на ротациите на Гивънс пред трансформацията на Хаусхолдер (която също може да се използва за тази декомпозиция) е възможността за паралелно изпълнение на ротациите, а също и намаляването на броя на операциите при „разредени“ матрици (т.е. с голям брой елементи с нулеви стойности).

Литература

• Bindel, D., Demmel, J., Kahan, W. On Computing Givens rotations reliably and efficiently. 2000.. LAPACK Working Note 148, University of Tennessee, UT-CS-00-449, 31 януари 2001.
• Cybenko, George. Reducing Quantum Computations to Elementary Unitary Operations. Computing in Science and Engineering. Т. 3. March–April 2001. DOI:10.1109/5992.908999. с. 27 – 32. Архив на оригинала от 2016-03-03 в Wayback Machine.
• Golub, Gene H., Van Loan, Charles F. Matrix Computations. 3rd. Johns Hopkins, 1996. ISBN 978-0-8018-5414-9..
• Section 11.3.1. Givens Method // Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. 3rd. Cambridge University Press, 2007. ISBN 978-0-521-88068-8.
• Константинов М. М. Елементи на линейната алгебра: Вектори и матрици, С. Университет по архитектура, строителство и геодезия, 2000 г. 300 с.