Седемнадесетоъгълник

Седемнадесетоъгълникът (или хептадекагон) е многоъгълник със седемнадесет страни и ъгли.

Правилен седемнадесетоъгълник

Сборът на всички вътрешни ъгли е 2700° или $15\pi$ радиана. Има 119 диагонала. Броят им се определя по общата формула за многоъгълник $D=n(n-3)/2$, откъдето при $n=17$ се получава

$D={\frac {17(17-3)}{2}}=119$.

Правилен седемнадесетоъгълник е този, при който всички страни и ъгли са равни. Той е представлявал интерес през вековете и е бил обект на дългогодишни научни изследвания. Свързва се най-вече с откритията на немския математик Карл Фридрих Гаус. По-нататък в статията се разглежда правилен седемнадесетоъгълник.

Ъгли

Вътрешният ъгъл е

$\phi ={\frac {2700^{\circ }}{17}}={158{\frac {14}{17}}}^{\circ }=158,82352941176470588235294117647^{\circ }\approx 158,82353^{\circ }.$

Централният ъгъл и външният ъгъл са

$\mu ={\frac {360^{\circ }}{17}}={21{\frac {3}{17}}}^{\circ }=21,176470588235294117647058823529^{\circ }\approx 21{,}17647^{\circ }.$

Вътрешен и централен ъгъл на правилен седемнадесетоъгълник

Лице

Лицето S /или площта/ на правилен седемнадесетоъгълник може да бъде намерено по три начина:

• По страната a:

$S={\frac {17a^{2}}{4}}\cot({\tfrac {\pi }{17}})\approx 22,735492\,a^{2}$

• По радиуса R на описаната окръжност:

$S={\frac {17R^{2}}{2}}\sin({\tfrac {2\pi }{17}})\approx 3,070554\,R^{2}$

• По радиуса r на вписаната окръжност (т.е. апотемата):

$S=17r^{2}\cdot \tan({\tfrac {\pi }{17}})\approx 3,177851\,r^{2}$

В литературата и статията в съответствие с чертежа сe използват и други обозначения:
А вместо S, s вместо a, r_u вместо R и r_i вместо r .

Построения

Точно построение и доказателства на Гаус

Тъй като 17 е просто число на Ферма, правилен седемнадесетоъгълник може да бъде построен с линийка и пергел:

Съобщението на Гаус през 1796 г., че правилният 17-ъгълник може да бъде построен с пергел и линийка. Лист на вестник „Обща литература“, 1796 г., стр. 554.

Това е доказано от Карл Фридрих Гаус в неговата монография „Аритметични изследвания“ през 1796 г., когато е на 19 години. Той доказва, че ако нечетните прости делители n на окръжността на равни дъги са различни прости числа на Ферма, тоест прости числа от вида $n=F_{m}=2^{2^{m}}+1$, тогава правилен n-ъгълник може да бъде построен с помощта на линийка и пергел (Теорема на Гаус-Ванцел). Тук m е цяло неотрицателно цяло число $m=0,1,2,3,...$.
При $m=0$, $n=F_{0}=2^{2^{0}}+1=3$;
при $m=1$, $n=F_{1}=2^{2^{1}}+1=5$;
при $m=2$, $n=F_{2}=2^{2^{2}}+1=17$;
при $m=3$, $n=F_{3}=2^{2^{3}}+1=257$;
при $m=4$, $n=F_{4}=2^{2^{4}}+1=65537$; и т. н.
Следователно, от правилните n-ъгълници с нечетен брой страни, с линийка и пергел могат да се построят правилен триъгълник, петоъгълник, седемнадесетоъгълник, 257-ъгълник и т. н.

Доказателството на Гаус разчита и на факта, че построимостта е еквивалентна на изразимостта на тригонометричните функции на централния ъгъл в правилния 17-ъгълник чрез аритметични операции и извличане на квадратен корен. Така конструирането на правилен 17-ъгълник включва намиране на косинус от $2\pi /17$ чрез корен квадратен. В същата книга „Аритметични изследвания“ Гаус определя стойността на косинуса на централния ъгъл на седемнадесетоъгълника:

$\cos \mu =\cos {\frac {360^{\circ }}{17}}=$

$={\frac {1}{16}}\left({\sqrt {17}}-1+{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-2{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}}}\right)\approx$ $\approx 0{,}93247222940435580457311589182156.$

Гаус дава тази формула в съвременна нотация, както е представена и в .

От този резултат произтича конструктивността и се прилага при построението:

Гаусова конструкция на правилния седемнадесетоъгълник.

Освен това резултатът може да се използва и за изчисляване на различни размери на седемнадесетоъгълника, като дължина на страната $s$, обиколка (периметър) $P$, радиус на вписаната окръжност $r_{\rm {i}}$, диагонал върху две страни $d_{2}$ и площ $A$:

Размери на правилен седемнадесетоъгълник, изразени чрез радиуса на описаната окръжност $r_{\rm {u}}$, централния ъгъл $\textstyle \mu ={\tfrac {360^{\circ }}{17}}=21{\frac {3}{17}}^{\circ }$ и неговия косинус $\textstyle \epsilon =\cos \mu$

Дължина на страната	$s={\sqrt {2\left(1-\epsilon \right)}}\cdot r_{\rm {u}}$	$\approx 0{,}367499\cdot r_{\rm {u}}$
Периметър	$P=17{\sqrt {2\left(1-\epsilon \right)}}\cdot r_{\rm {u}}$	$\approx 6{,}247484\cdot r_{\rm {u}}$
Радиус на вписаната окръжност	$r_{\rm {i}}={\sqrt {\frac {1+\epsilon }{2}}}\cdot r_{\rm {u}}$	$\approx 0{,}982973\cdot r_{\rm {u}}$
Диагонал	$d_{2}=2{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}\cdot r_{\rm {u}}$	$\approx 0{,}722483\cdot r_{\rm {u}}$
Площ	$A={\frac {17}{2}}{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}\cdot r_{\rm {u}}^{2}$	$\approx 3{,}070554\cdot r_{\rm {u}}^{2}$
Вътрешен ъгъл	$\phi =180^{\circ }-\mu ={\frac {15}{17}}\cdot 180^{\circ }$	$158{\frac {4}{17}}^{\circ }$

Построениe чрез Гаусовата кратка версия на формулата

На 21 юни 1801 г. Гаус представя на Академията в Санкт Петербург така наречената кратка версия в три стъпки за неговата горна формула, която е резултат от групирането на суми от индивидуални косинусови стойности. През 2009 г. Фридрих Л. Бауер ги описва подробно в книгата си „Historische Notes on Computer Science“ в главата „Карл Фридрих Гаус, 17-ъгълникът и MATEMATИКA“. В кратката версия са въведени спомагателните величини $q$ и $q'$:

$q=\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{17}}\right)$ и

$q'=\cos \left(3\cdot {\frac {2\pi }{17}}\right)+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{17}}\right).$

Така за косинуса на централния ъгъл се получава резултатът:

$\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {1}{2}}q+{\sqrt {{\frac {1}{4}}q^{2}-{\frac {1}{2}}q'}}$ и

$\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \left(q+{\sqrt {\left(qq-2q'\right)}}\;\right).$

Построяването чрез Гаусовата кратка версия на формулата включва следните етапи:

• Построяване на спомагателните величини $p,q$ и произведението $qq$

Тук се прилага:

$p={\frac {-1+{\sqrt {17}}}{4}}$ и

$q={\frac {p+{\sqrt {1+pp}}}{2}}$.

При построенията е важно да не се объркат точките N с О, както и P с J или Q, защото са много близки.

В резултат се получава:

$p=AE$, $q=IN$ и

$qq=IQ$.

• Построяване на спомагателните величини $p'$ и $q'$.

$p'={\frac {-1-{\sqrt {17}}}{4}}$, $q'={\frac {p'+{\sqrt {1+p'p'}}}{2}}$, $A'$, отсечка ${\overline {A'B'}}=1$, дъга 90°$(A';r_{1}=1)$, $A'C'=A'B'=1$, $A'C'$⊥$A'B'$, $B'D'$⊥$A'B'$, $B'D'={\frac {1}{4}}{\overline {A'B'}}$, ${\overline {A'D'}}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {17}}$, окръжност $(D';r_{0}=D'B')$, линия $A'D'E'$, $A'E'=p'$, ¼ кръг $(A';r_{2}=p'),F',G',C'F'$, $G'E'H'$||$C'F'$, $A'H'=p'p'$, линия $A'H'I'J'$, $H'I'=1$, $I'J'=1$, $A'K'={\frac {1}{2}}\cdot A'J'$, ½ кръг $(K';r=A'K'=K'J')$, $I'L'$⊥$A'J'$, ${\overline {I'L'}}={\sqrt {\left(p'p'+1\right)}}$, ${\overline {L'M'}}={\overline {A'E'}}=p'$, ${\overline {M'N'}}={\overline {N'I'}}=q'$.

• Построяване на корен квадратен от $qq-2q'$ и косинус от централния ъгъл $\mu$.

Доказателствата на Гаус представляват първия напредък в изграждането на правилен многоъгълник от над 2000 години. Гаус е бил толкова вдъхновен от откритието си, че в края на живота си завещал на гроба му да бъде изсечен правилен седемнадесетоъгълник. Скулпторът отказва да го направи с аргумента, че конструкцията ще бъде толкова сложна, че резултатът ще бъде неразличим от кръг.

Точно построение на Ричмънд

През 1893 г. Хърбърт Уилям Ричмънд публикува изрично описание на построяването на правилен шестоъгълник в 64 стъпки. Тази конструкция е показана по-долу.

1. Начертава се голям кръг k₁ (бъдещата описана окръжност около 17-ъгълника) с център O.
2. Прекарва се нейният диаметър AB.
3. Построява се към него перпендикуляр m, пресичащ k₁ в точките C и D.
4. Отбелязва се точка E — среда на DO.
5. По средата на EO се отбелязва точка F и се прекарва отсечката FA.
6. Построява се ъглополовящата (бисектрисата) w₁ на ъгъл ∠OFA.
7. Построява се ъглополовящата w₂ на ъгъла между m и w₁, която пресича AB в точка G.
8. От точка F се издига перпендикуляр s към w₂.
9. Построява се ъглополовящата w₃ на ъгъла между s и w₂. Тя пресича AB в точка H.
10. Построява се окръжността на Талес k₂ с диаметър HA и център в точка M. Тя се пресича с CD в точките J и K.

Анимирано построение на Ерхингер

11. Построява се окръжността k₃ с център G през точките J и K. Тя се пресича с AB в точках L и N. Тук е важно да не се обърка N с M, те са много близки.

12. Построява се допирателната към k₃ през точка N.

Пресечните точки на тази допирателна с първоначалната окръжност k₁ са точките P₃ и P₁₄ на желания седемнадесетоъгълник. Ако се вземе средата на получената дъга като P₀ и се нанесе дъгата P₀P₁₄ около кръга три пъти, всички върхове на седемнадесетоъгълника ще бъдат построени.

Построение на Ерхингер

Конструиране на правилен седемнадесетоъгълник с линийка и пергел в 64 стъпки е създадено и от Йоханес Ерхингер.

Построение на Жерард

Л. Жерард построява правилен 17-ъгълник само с пергел и публикува резултата в Mathematische Annalen (48-ми том) през 1897 г. ,

Пълно построение на Жерард

Анимирано построение на Жерард

Построение на ДеТемпъл

Изследванията с резултати продължават и в по-ново време. През 1991 г. Дуейн У. ДеТемпъл използва за построение на правилен 17-ъгълник четири така наречени окръжности на Карлайл. ,

Пълно построение на ДеТемпъл

Анимирано построение на ДеТемпъл с пауза 20 s в края