Седемнадесетоъгълник

Седемнадесетоъгълникът (или хептадекагон) е многоъгълник със седемнадесет страни и ъгли.

Сборът на всички вътрешни ъгли е 2700° или $15\pi$ радиана. Има 119 диагонала. Броят им се определя по общата формула за многоъгълник $D=n(n-3)/2$ , откъдето при $n=17$ се получава

D={\frac {17(17-3)}{2}}=119

.

Правилен седемнадесетоъгълник е този, при който всички страни и ъгли са равни. Той е представлявал интерес през вековете и е бил обект на дългогодишни научни изследвания. Свързва се най-вече с откритията на немския математик Карл Фридрих Гаус. По-нататък в статията се разглежда правилен седемнадесетоъгълник.

Ъгли

Вътрешният ъгъл е

\phi ={\frac {2700^{\circ }}{17}}={158{\frac {14}{17}}}^{\circ }=158,82352941176470588235294117647^{\circ }\approx 158,82353^{\circ }.

Централният ъгъл и външният ъгъл са

\mu ={\frac {360^{\circ }}{17}}={21{\frac {3}{17}}}^{\circ }=21,176470588235294117647058823529^{\circ }\approx 21{,}17647^{\circ }.

Лице

Лицето S /или площта/ на правилен седемнадесетоъгълник може да бъде намерено по три начина:

По страната a:

S={\frac {17a^{2}}{4}}\cot({\tfrac {\pi }{17}})\approx 22,735492\,a^{2}

По радиуса R на описаната окръжност:

S={\frac {17R^{2}}{2}}\sin({\tfrac {2\pi }{17}})\approx 3,070554\,R^{2}

По радиуса r на вписаната окръжност (т.е. апотемата):

S=17r^{2}\cdot \tan({\tfrac {\pi }{17}})\approx 3,177851\,r^{2}

В литературата и статията в съответствие с чертежа сe използват и други обозначения:
А вместо S, s вместо a, r_u вместо R и r_i вместо r .

Построения

Точно построение и доказателства на Гаус

Тъй като 17 е просто число на Ферма, правилен седемнадесетоъгълник може да бъде построен с линийка и пергел:^[1]

Това е доказано от Карл Фридрих Гаус в неговата монография „Аритметични изследвания“ през 1796 г., когато е на 19 години.^[2] Той доказва, че ако нечетните прости делители n на окръжността на равни дъги са различни прости числа на Ферма, тоест прости числа от вида $n=F_{m}=2^{2^{m}}+1$ , тогава правилен n-ъгълник може да бъде построен с помощта на линийка и пергел (Теорема на Гаус-Ванцел). Тук m е цяло неотрицателно цяло число $m=0,1,2,3,...$ .
При $m=0$ , $n=F_{0}=2^{2^{0}}+1=3$ ;
при $m=1$ , $n=F_{1}=2^{2^{1}}+1=5$ ;
при $m=2$ , $n=F_{2}=2^{2^{2}}+1=17$ ;
при $m=3$ , $n=F_{3}=2^{2^{3}}+1=257$ ;
при $m=4$ , $n=F_{4}=2^{2^{4}}+1=65537$ ; и т. н.
Следователно, от правилните n-ъгълници с нечетен брой страни, с линийка и пергел могат да се построят правилен триъгълник, петоъгълник, седемнадесетоъгълник, 257-ъгълник и т. н.

Доказателството на Гаус разчита и на факта, че построимостта е еквивалентна на изразимостта на тригонометричните функции на централния ъгъл в правилния 17-ъгълник чрез аритметични операции и извличане на квадратен корен. Така конструирането на правилен 17-ъгълник включва намиране на косинус от $2\pi /17$ чрез корен квадратен. В същата книга „Аритметични изследвания“ Гаус определя стойността на косинуса на централния ъгъл на седемнадесетоъгълника: ^[3]

\cos \mu =\cos {\frac {360^{\circ }}{17}}=

$={\frac {1}{16}}\left({\sqrt {17}}-1+{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-2{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}}}\right)\approx$ $\approx 0{,}93247222940435580457311589182156.$

Гаус дава тази формула в съвременна нотация, както е представена и в ^[4].

От този резултат произтича конструктивността и се прилага при построението:

Освен това резултатът може да се използва и за изчисляване на различни размери на седемнадесетоъгълника, като дължина на страната $s$ , обиколка (периметър) $P$ , радиус на вписаната окръжност $r_{\rm {i}}$ , диагонал върху две страни $d_{2}$ и площ $A$ :

Размери на правилен седемнадесетоъгълник, изразени чрез радиуса на описаната окръжност $r_{\rm {u}}$ , централния ъгъл $\textstyle \mu ={\tfrac {360^{\circ }}{17}}=21{\frac {3}{17}}^{\circ }$ и неговия косинус $\textstyle \epsilon =\cos \mu$
Дължина на страната	$s={\sqrt {2\left(1-\epsilon \right)}}\cdot r_{\rm {u}}$	$\approx 0{,}367499\cdot r_{\rm {u}}$
Периметър	$P=17{\sqrt {2\left(1-\epsilon \right)}}\cdot r_{\rm {u}}$	$\approx 6{,}247484\cdot r_{\rm {u}}$
Радиус на вписаната окръжност	$r_{\rm {i}}={\sqrt {\frac {1+\epsilon }{2}}}\cdot r_{\rm {u}}$	$\approx 0{,}982973\cdot r_{\rm {u}}$
Диагонал	$d_{2}=2{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}\cdot r_{\rm {u}}$	$\approx 0{,}722483\cdot r_{\rm {u}}$
Площ	$A={\frac {17}{2}}{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}\cdot r_{\rm {u}}^{2}$	$\approx 3{,}070554\cdot r_{\rm {u}}^{2}$
Вътрешен ъгъл	$\phi =180^{\circ }-\mu ={\frac {15}{17}}\cdot 180^{\circ }$	$158{\frac {4}{17}}^{\circ }$

Построениe чрез Гаусовата кратка версия на формулата

На 21 юни 1801 г. Гаус представя на Академията в Санкт Петербург така наречената кратка версия в три стъпки за неговата горна формула, която е резултат от групирането на суми от индивидуални косинусови стойности. През 2009 г. Фридрих Л. Бауер ги описва подробно в книгата си „Historische Notes on Computer Science“ в главата „Карл Фридрих Гаус, 17-ъгълникът и MATEMATИКA“. ^[5] В кратката версия са въведени спомагателните величини $q$ и $q'$ :

q=\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{17}}\right)

и

q'=\cos \left(3\cdot {\frac {2\pi }{17}}\right)+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{17}}\right).

Така за косинуса на централния ъгъл се получава резултатът: ^[6]

\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {1}{2}}q+{\sqrt {{\frac {1}{4}}q^{2}-{\frac {1}{2}}q'}}

и

\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \left(q+{\sqrt {\left(qq-2q'\right)}}\;\right).

Построяването чрез Гаусовата кратка версия на формулата включва следните етапи:

Построяване на спомагателните величини $p,q$ и произведението $qq$

Тук се прилага:

$p={\frac {-1+{\sqrt {17}}}{4}}$ и

$q={\frac {p+{\sqrt {1+pp}}}{2}}$ .

При построенията е важно да не се объркат точките N с О, както и P с J или Q, защото са много близки.

В резултат се получава:

$p=AE$ , $q=IN$ и

$qq=IQ$ .

Построяване на спомагателните величини $p'$ и $q'$ .

$p'={\frac {-1-{\sqrt {17}}}{4}}$ , $q'={\frac {p'+{\sqrt {1+p'p'}}}{2}}$ , $A'$ , отсечка ${\overline {A'B'}}=1$ , дъга 90° $(A';r_{1}=1)$ , $A'C'=A'B'=1$ , $A'C'$ ⊥ $A'B'$ , $B'D'$ ⊥ $A'B'$ , $B'D'={\frac {1}{4}}{\overline {A'B'}}$ , ${\overline {A'D'}}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {17}}$ , окръжност $(D';r_{0}=D'B')$ , линия $A'D'E'$ , $A'E'=p'$ , ¼ кръг $(A';r_{2}=p'),F',G',C'F'$ , $G'E'H'$ || $C'F'$ , $A'H'=p'p'$ , линия $A'H'I'J'$ , $H'I'=1$ , $I'J'=1$ , $A'K'={\frac {1}{2}}\cdot A'J'$ , ½ кръг $(K';r=A'K'=K'J')$ , $I'L'$ ⊥ $A'J'$ , ${\overline {I'L'}}={\sqrt {\left(p'p'+1\right)}}$ , ${\overline {L'M'}}={\overline {A'E'}}=p'$ , ${\overline {M'N'}}={\overline {N'I'}}=q'$ .

Построяване на корен квадратен от $qq-2q'$ и косинус от централния ъгъл $\mu$ .

Доказателствата на Гаус представляват първия напредък в изграждането на правилен многоъгълник от над 2000 години. Гаус е бил толкова вдъхновен от откритието си, че в края на живота си завещал на гроба му да бъде изсечен правилен седемнадесетоъгълник. Скулпторът отказва да го направи с аргумента, че конструкцията ще бъде толкова сложна, че резултатът ще бъде неразличим от кръг. ^[2]

Точно построение на Ричмънд

През 1893 г. Хърбърт Уилям Ричмънд публикува изрично описание на построяването на правилен шестоъгълник в 64 стъпки. Тази конструкция е показана по-долу.

Построение правильного семнадцатиугольника

Начертава се голям кръг k₁ (бъдещата описана окръжност около 17-ъгълника) с център O.
Прекарва се нейният диаметър AB.
Построява се към него перпендикуляр m, пресичащ k₁ в точките C и D.
Отбелязва се точка E — среда на DO.
По средата на EO се отбелязва точка F и се прекарва отсечката FA.
Построява се ъглополовящата (бисектрисата) w₁ на ъгъл ∠OFA.
Построява се ъглополовящата w₂ на ъгъла между m и w₁, която пресича AB в точка G.
От точка F се издига перпендикуляр s към w₂.
Построява се ъглополовящата w₃ на ъгъла между s и w₂. Тя пресича AB в точка H.
Построява се окръжността на Талес k₂ с диаметър HA и център в точка M. Тя се пресича с CD в точките J и K.

11. Построява се окръжността k₃ с център G през точките J и K. Тя се пресича с AB в точках L и N. Тук е важно да не се обърка N с M, те са много близки.

12. Построява се допирателната към k₃ през точка N.

Пресечните точки на тази допирателна с първоначалната окръжност k₁ са точките P₃ и P₁₄ на желания седемнадесетоъгълник. Ако се вземе средата на получената дъга като P₀ и се нанесе дъгата P₀P₁₄ около кръга три пъти, всички върхове на седемнадесетоъгълника ще бъдат построени.

Построение на Ерхингер

Конструиране на правилен седемнадесетоъгълник с линийка и пергел в 64 стъпки е създадено и от Йоханес Ерхингер.

Построение на Жерард

Л. Жерард построява правилен 17-ъгълник само с пергел и публикува резултата в Mathematische Annalen (48-ми том) през 1897 г. ^[7]^[8]

Построение на ДеТемпъл

Изследванията с резултати продължават и в по-ново време. През 1991 г. Дуейн У. ДеТемпъл използва за построение на правилен 17-ъгълник четири така наречени окръжности на Карлайл. ^[9]^[10]

Източници и бележки

↑ Constructible Polygon, mathworld.wolfram.com
↑ ^а ^б Arthur Jones, Sidney A. Morris, Kenneth R. Pearson – Abstract Algebra and Famous Impossibilities, p. 178, ISBN 0387976612, Springer, 1991.
↑ Carl Friedrich Gauss – Disquisitiones Arithmeticae, eod books2ebooks, p. 662 item 365.
↑ Callagy, James J. – "The central angle of the regular 17-gon", Mathematical Gazette 67, December 1983, 290–292.
↑ Friedrich L. Bauer: Historische Notizen zur Informatik. Berlin, Heidelberg 2009, S. 413 (Google Books, Carl Friedrich Gauß, das 17-Eck und MATHEMATICA, Die Methode der Gruppierung).
↑ Hans Vollmayr: 17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal. In: Göttinger Bibliotheksschriften 30 „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“ Carl Friedrich Gauß in Göttingen. Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen 2005, ISBN 3-930457-72-5, S. 103 (Das Siebzehneck: die Zeichnung, → „ ... so dass uns am Schluss nur noch die Gleichung ...“).
↑ Felix Klein, Walther Dyck, Adolph Mayer – Inhalt des achtundvierzigsten Bandes, Mathematische Annalen, Göttinger Digitalisierungszentrum, Leipzig, 1897. Посетен на 19.10.2021.
↑ L. Gérard – Construction du polygone régulier de 17 côtés au moyen du seul compas, Mathematische Annalen, s. 390–392, Göttinger Digitalisierungszentrum, 8.7.1896. Посетен на 20.10.2021.
↑ Окръжността на Карлайл (също окръжност на Лил) е специална окръжност в декартовата координатна система, чиито точки на пресичане с оста x съвпадат с точките на пресичане на нормализирана квадратична функция и оста x. Следователно може да се използва за геометрично построяване на нулите на нормализирана квадратична функция.
↑ Duane W. DeTemple – Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygon Constructions, wayback 20110811144945, The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 2 (Feb., 1991), p. 101–104. Aufgerufen am 3 April 2017.

[1] Constructible Polygon, mathworld.wolfram.com

[Jones-2] а ^б Arthur Jones, Sidney A. Morris, Kenneth R. Pearson – Abstract Algebra and Famous Impossibilities, p. 178, ISBN 0387976612, Springer, 1991.

[3] Carl Friedrich Gauss – Disquisitiones Arithmeticae, eod books2ebooks, p. 662 item 365.

[Callagy-4] Callagy, James J. – "The central angle of the regular 17-gon", Mathematical Gazette 67, December 1983, 290–292.

[5] Friedrich L. Bauer: Historische Notizen zur Informatik. Berlin, Heidelberg 2009, S. 413 (Google Books, Carl Friedrich Gauß, das 17-Eck und MATHEMATICA, Die Methode der Gruppierung).

[6] Hans Vollmayr: 17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal. In: Göttinger Bibliotheksschriften 30 „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“ Carl Friedrich Gauß in Göttingen. Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen 2005, ISBN 3-930457-72-5, S. 103 (Das Siebzehneck: die Zeichnung, → „ ... so dass uns am Schluss nur noch die Gleichung ...“).

[7] Felix Klein, Walther Dyck, Adolph Mayer – Inhalt des achtundvierzigsten Bandes, Mathematische Annalen, Göttinger Digitalisierungszentrum, Leipzig, 1897. Посетен на 19.10.2021.

[8] L. Gérard – Construction du polygone régulier de 17 côtés au moyen du seul compas, Mathematische Annalen, s. 390–392, Göttinger Digitalisierungszentrum, 8.7.1896. Посетен на 20.10.2021.

[9] Окръжността на Карлайл (също окръжност на Лил) е специална окръжност в декартовата координатна система, чиито точки на пресичане с оста x съвпадат с точките на пресичане на нормализирана квадратична функция и оста x. Следователно може да се използва за геометрично построяване на нулите на нормализирана квадратична функция.

[DeTemple-10] Duane W. DeTemple – Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygon Constructions, wayback 20110811144945, The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 2 (Feb., 1991), p. 101–104. Aufgerufen am 3 April 2017.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]