Синусова теорема

В тригонометрията синусовата теорема се отнася до триъгълник в равнината. Ако страните на триъгълника са означени с a, b и c, а ъглите срещу тях със A, B и C, тогава синусовата теорема гласи:

За всеки триъгълник отношението на коя да е страна и синуса на срещулежащия ъгъл е равно на диаметъра на описаната около триъгълника окръжност. ${a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=2R$

Тази формула се използва, за да се намерят неизвестните страни на триъгълника, ако знаем 2 ъгъла и третата страна, което е основна задача при триангулацията. Може да се използва и ако са известни две от страните и едни от ъглите, но не този сключен между тях. Тогава формулата ще даде 2 решения, за сключения между известните ни страни, ъгъл. Реципрочното число – a/sin(A)) е равно на диаметъра на окръжността, описана около триъгълника. Това може да се изрази по следния начин:

${a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=2R=d.$

Или така:

$d={\frac {abc}{2{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}}={\frac {2abc}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$

където

р е полупериметъра

$p={\frac {(a+b+c)}{2}}$

Доказателство

Нека е даден триъгълник със страни a, b, и c и срещулежащи ъгли A, B, и C. Нека спуснем от върха C перпендикуляр към страната c и да го обозначим с h. Така получихме 2 правоъгълни триъгълника

За тях е вярно:

$\sin A={\frac {h}{b}}$ и $\;\sin B={\frac {h}{a}}$

Следователно:

$h=b\,\sin A=a\,\sin B$

и

${\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}.$

Същото ще получим и ако спуснем перпендикуляр от върха А към страната a:

${\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}$

Вижте също

А /sin a = B / sin b = C / sin c = 2r = D

• Триангулация
• Косинусова теорема