Скобки на Поасон

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Скобките на Поасон са важен оператор в хамилтоновата механика, играещ централна роля в описанието на времевата еволюция на динамичните системи във формулировката на Хамилтон. В по-общ планк, скобките на Поасон се използват при дефинирането на алгебра на Поасон, а многообразието на Поасон е неин частен случай. Те са наречени на френския математик Симеон Дени Поасон.

Обобщени координати[редактиране | редактиране на кода]

В обобщените координати на фазовото пространство, скобките на Поасон на две функции и се записват:

Уравнения на движението[редактиране | редактиране на кода]

Пълният диференциал на дадена функция във фазовото пространство може още да бъде записан със скобките на Поасон. Нека е функция, дефинирана върху дадено многообразие. Пълният ѝ диференциал има вида:

Ако заместим в горното уравнение обобщените координати и с техните изрази в уравненията на Хамилтон-Якоби ( и ), получаваме:

Следователно, изменението с времето на дадена функция f, дефинирана на симплектично многообразие може да бъде описано от поток. В запис, независим от избора на координатна система, изразът на пълния диференциал на функцията придобива вида:

Операторът се нарича още Оператор на Лиувил.

Константи на движението[редактиране | редактиране на кода]

Дадена интегрируема система може да притежава константи на движението, различни от енергията. Такива константи на движението трябва да комутират с хамилтониана в смисъла на скобките на Поасон. Нека е константа на движението. Следователно, наредената двойка е траектория, или двойка решения на уравненията на Хамилтон-Якоби, а нейният пълен диференциал е равен на нула: . Като заместим с уравненията на Хамилтон-Якоби, получаваме:

Това уравнение е познато като уравнение на Лиувил. Теоремата на Лиувил гласи, че времевата еволюция на дадена динамична система се определя от уравнението на Лиувил.

Общи свойства[редактиране | редактиране на кода]

  • Скобките на Поасон притежават свойството антисиметричност[1](Понякога наричано и „кососиметричност” [2] ):
  • Скобките на Поасон удовлетворяват тъждеството на Якоби:
  • Обобщените координати са свързани с уравнението :

Уравнения на Хамилтон-Якоби[редактиране | редактиране на кода]

Нека е хамилтониана на разглежданата система. Уравненията на Хамилтон-Якоби могат да бъдат записани със скобките на Поасон:

и :

Квантов еквивалент[редактиране | редактиране на кода]

В квантовата механика, комутаторът на две наблюдаеми X и Y е пропорционален на техните скобки на Поасон:

където с е обозначен комутаторът. По този начин получаваме комутационните съотношение на наблюдаемите във формализма на Хайзенберг. Същата стратегия може да бъде приложена при квантуването на електричното поле, например.

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — М.: Физматгиз, 1958. («Теоретическая физика», том I).
  1. . „Лексикон Математика“, Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN 954-584-146-ХР
  2. Марков, К.. Записки по Механика на непрекъснатите среди (pdf). // сайт на СУ, май 2002. Посетен на 25.06.2008.

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]