Случайна величина

В математиката и по-специално в теорията на вероятностите и статистиката, случайната величина се използва за моделирането и изучаването на конкретни аспекти, принадлежащи на даден случаен експеримент. Ако X е една случайна величина, то тогава и функционалните стойности $X(\omega )$ се наричат нейни реализации.

Дефиниция

• Една функция $X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ се нарича случайна величина (върху вероятностното пространство $(\Omega ,{\mathfrak {A}},P)$), ако следното важи

$\forall x\in \mathbb {R} :\{\omega \in \Omega :X(\omega )\leq x\}\in {\mathfrak {A}}$.

Интерпретация на дефиницията

• Една функция $X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ е случайна величина тогава, когато множеството, дефинирано чрез първообраза на функцията $X^{-1}([-\infty ,x])$ за всяко $x\in \mathbb {R}$ е събитие, т.е. представлява елемент от алгебрата на събитията ${\mathfrak {A}}$.
• Забележете, че случайните величини са функции, а не променливи, както се приема в общия смисъл.
• За случайната величина X, вероятностите $P(\{\omega \in \Omega :X(\omega )\leq x\})$ са добре дефинирани.

Означение

• За $X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ и $B\subseteq \mathbb {R}$, събитието $\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in B\}$ се означава накратко с $\{X\in B\}$.
• Също така за $x\in \mathbb {R}$ се използват кратките означения $\{X\leq x\}$, съответно $\{X\in ]-\infty ,x]\}$ вместо $\{\omega \in \Omega :X(\omega )\leq x\}$.

Функция на разпределение на една случайна величина

• Функцията на разпределение $F_{X}:\mathbb {R} \rightarrow [0,1]$ на една случайна величина X върху вероятностното пространство $(\Omega ,{\mathfrak {A}},P)$ е дефинирана като

$F_{X}(x):=P(\{X\leq x\})$.