Двоична бройна система: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Редакция без резюме Етикети: Отменени Визуален редактор |
Заместване на съдържанието на страницата с „ {{reflist}}hiasd[uonnhio[o[aijrc {{Уикицитат|Математика}} Категория:Брой...“ Етикети: Заместване Отменени Визуален редактор |
||
Ред 1: | Ред 1: | ||
'''Двоичната бройна система''' (също и бинарна система) е [[позиционна бройна система]] с [[Основа на бройна система|основа]] 2, при която [[Число|числата]] се изобразяват само с помощта на две [[Цифра|цифри]]: [[0 (число)|0]] и [[1 (число)|1]]. |
|||
{{reflist}}hiasd[uonnhio[o[aijrc {{Уикицитат|Математика}} |
|||
== Особено == |
|||
== kirata == |
|||
car kira |
|||
HACKEDистемите, свързани с двоични числа се откриват в множество култури, включително [[Древен Египет]], [[Китай]] и [[Индия]]. |
|||
Съвременната двоична системореспондиращата единица, като се попълват нарастващо от дясно наляво; а вляво е сборът от произведението на тези стойности. В таблицата се получава готовия бинарен код:<table id="table1" style="border-collapse: collapse; border-style: solid; border-width: 2px" width="520" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0"> |
|||
<tr> |
|||
<td width="100" align="center"> </td> |
|||
<td colspan="10" width="412" align="center"><span lang="bg">'''Десетична система'''</span></td> |
|||
</tr> |
|||
<tr> |
|||
<td style="border-right-style: solid; border-right-width: 1px" height="62" width="101"> |
|||
'''<span lang="bg">Продукт по десетичната система</span>'''</td> |
|||
<td align="center" height="62" width="41">'''512'''</td> |
|||
<td align="center" height="62" width="41">'''256'''</td> |
|||
<td align="center" height="62" width="41">'''128'''</td> |
|||
<td align="center" height="62" width="41">'''64'''</td> |
|||
<td align="center" height="62" width="41">'''32'''</td> |
|||
<td align="center" height="62" width="41">'''16'''</td> |
|||
<td align="center" height="62" width="42">'''8'''</td> |
|||
<td align="center" height="62" width="42">'''4'''</td> |
|||
<td align="center" height="62" width="42">'''2'''</td> |
|||
<td align="center" height="62" width="42">'''1'''</td> |
|||
</tr> |
|||
<tr> |
|||
<td style="border-right-style: solid; border-right-width: 1px" width="101"> |
|||
6</td> |
|||
<td align="center" width="41"> </td> |
|||
<td align="center" width="41"> </td> |
|||
<td align="center" width="41"> </td> |
|||
<td align="center" width="41"> </td> |
|||
<td align="center" width="41">0</td> |
|||
<td align="center" width="41">0</td> |
|||
<td align="center" width="42">0</td> |
|||
<td align="center" width="42">1</td> |
|||
<td align="center" width="42">1</td> |
|||
<td align="center" width="42">0</td> |
|||
</tr> |
|||
<tr> |
|||
<td style="border-right-style: solid; border-right-width: 1px" width="101"> |
|||
48</td> |
|||
<td align="center" width="41"> </td> |
|||
<td align="center" width="41"> </td> |
|||
<td align="center" width="41"> </td> |
|||
<td align="center" width="41"> </td> |
|||
<td align="center" width="41">1</td> |
|||
<td align="center" width="41">1</td> |
|||
<td align="center" width="42">0</td> |
|||
<td align="center" width="42">0</td> |
|||
<td align="center" width="42">0</td> |
|||
<td align="center" width="42">0</td> |
|||
</tr> |
|||
<tr> |
|||
<td style="border-right-style: solid; border-right-width: 1px" width="101"> |
|||
27</td> |
|||
<td align="center" width="41"> </td> |
|||
<td align="center" width="41"> </td> |
|||
<td align="center" width="41"> </td> |
|||
<td align="center" width="41"> </td> |
|||
<td align="center" width="41"> </td> |
|||
<td align="center" width="41">1</td> |
|||
<td align="center" width="42">1</td> |
|||
<td align="center" width="42">0</td> |
|||
<td align="center" width="42">1</td> |
|||
<td align="center" width="42">1</td> |
|||
</tr> |
|||
<tr> |
|||
<td style="border-right-style: solid; border-right-width: 1px" width="101"> |
|||
4</td> |
|||
<td align="center" width="41"> </td> |
|||
<td align="center" width="41"> </td> |
|||
<td align="center" width="41"> </td> |
|||
<td align="center" width="41"> </td> |
|||
<td align="center" width="41"> </td> |
|||
<td align="center" width="41"> </td> |
|||
<td align="center" width="42">0</td> |
|||
<td align="center" width="42">1</td> |
|||
<td align="center" width="42">0</td> |
|||
<td align="center" width="42">0</td> |
|||
</tr> |
|||
<tr> |
|||
<td style="border-right-style: solid; border-right-width: 1px" width="101"> |
|||
805</td> |
|||
<td align="center" width="41">1</td> |
|||
<td align="center" width="41">1</td> |
|||
<td align="center" width="41">0</td> |
|||
<td align="center" width="41">0</td> |
|||
<td align="center" width="41">1</td> |
|||
<td align="center" width="41">0</td> |
|||
<td align="center" width="42">0</td> |
|||
<td align="center" width="42">1</td> |
|||
<td align="center" width="42">0</td> |
|||
<td align="center" width="42">1</td> |
|||
</tr> |
|||
</table> |
|||
=== Джордж Бул === |
|||
През 1854 г. британският математик [[Джордж Бул]] публикува оригинална статия, описваща [[Алгебра|алгебрична]] система на [[логика]]та, която става известна като [[булева алгебра]]. Върху неговия логически анализ се основава дизайнът на цифровите електронни вериги.<ref>{{cite web |url=http://www.gutenberg.org/ebooks/15114 | title=An Investigation of the Laws of Thought | author=George Boole}}</ref> За логическите операции се използват променливите от двоичната бройна система като концепцията е 1 – правилно, вярно /''true''/, a 0 – неправилно, грешно /''false''/. |
|||
== Броене == |
|||
Както във всяка позиционна бройна система, броенето преминава в нарастващ ред през всички символи, като разликата е, че в двоичната система те са само два: 0 и 1. При достигане на най-големия символ 1, той става 0 и предизвиква увеличение на левия знак с 1. |
|||
На x<sub>10</sub> в десетична бройна система съответства y<sub>2</sub> в двоична бройна система, първите 8 десетични числа изглеждат така: |
|||
* 1<sub>10</sub> = 1<sub>2</sub> |
|||
* 2<sub>10</sub> = 10<sub>2</sub> |
|||
* 3<sub>10</sub> = 11<sub>2</sub> |
|||
* 4<sub>10</sub> = 100<sub>2</sub> |
|||
* 5<sub>10</sub> = 101<sub>2</sub> |
|||
* 6<sub>10</sub> = 110<sub>2</sub> |
|||
* 7<sub>10</sub> = 111<sub>2</sub> |
|||
* 8<sub>10</sub> = 1000<sub>2</sub> |
|||
== Двоична алгебра == |
|||
Изчисленията в двоичната бройна система са прости и могат да се опишат лесно. |
|||
=== [[Събиране]] === |
|||
0 + 0 = 0 |
|||
0 + 1 = 1 |
|||
1 + 0 = 1 |
|||
1 + 1 = 10 (или 0 с 1 наум, което се добавя отляво, когато събираме числа с повече от една цифра) |
|||
=== [[Изваждане]] === |
|||
0 – 0 = 0 |
|||
0 – 1 = 1 (с вземане на 1 от лявостоящата цифра) |
|||
1 – 0 = 1 |
|||
1 – 1 = 0 |
|||
=== [[Умножение]] === |
|||
0 * 0 = 0 |
|||
0 * 1 = 0 |
|||
1 * 0 = 0 |
|||
1 * 1 = 1 |
|||
=== [[Деление]] === |
|||
0 : 1 = 0 |
|||
1 : 1 = 1 |
|||
В двоичната система също както във всички останали бройни системи не може да се дели на 0, поради [[Несигурност|неопределеността]] на резултата. |
|||
Най-просто това се обяснява с двата факта, че всяко число делено на себе си е 1, но 0 делено на всяко число е 0. Така изразът 0 : 0 трябва да е едновременно и 1 и 0. |
|||
== Преминаване от десетична в двоична бройна система == |
|||
Когато трябва да обръщаме [[десетично число]] в двоично се процедира в следния ред: |
|||
:# Делим първоначалното число на 2 |
|||
:# Ако то се дели без остатък записваме 0 |
|||
:# Ако числото има остатък записваме 1 |
|||
:# Връщаме се отначало, докато не достигнем 0 |
|||
Например числото 19<sub>10</sub> се преобразува по следния начин: |
|||
{| class="wikitable" |
|||
|- |
|||
| 19 || / 2 || = 9 || с остатък 1 |
|||
|- |
|||
| 9 || / 2 || = 4 || с остатък 1 |
|||
|- |
|||
| 4 || / 2 || = 2 || с остатък 0 |
|||
|- |
|||
| 2 || / 2 || = 1 || с остатък 0 |
|||
|- |
|||
| 1 || / 2 || = 0 || с остатък 1 |
|||
|} |
|||
Остатъците се записват от дясно наляво. Така получаваме 19<sub>10</sub> = 10011<sub>2</sub>. |
|||
== Преминаване от двоична в десетична бройна система == |
|||
За преобразуването на двоично число в десетично се използва подобен на горния принцип като деленето се заменя с умножение. |
|||
За числото 10011<sub>2</sub>, започвайки от ляво надясно имаме: |
|||
първото число е 1, |
|||
следващото е 0, значи 1 * 2 = 2 и не добавяме нищо, |
|||
следващото е 0, значи 2 * 2 = 4 и не добавяме нищо, |
|||
следващото е 1, значи 4 * 2 = 8, добавяме 1 и става 9, |
|||
следващото е 1, значи 9 * 2 = 18, добавяме 1 и става 19. |
|||
Така получаваме 10011<sub>2</sub> = 19<sub>10</sub>. |
|||
Като всяка друга бройна система, двоичната е изградена на следния принцип: |
|||
* последното число (единиците) е 2<sup>0</sup> |
|||
* предпоследно число (двойките) е 2<sup>1</sup> |
|||
* пред-предпоследно число (четворките) е 2<sup>2</sup> |
|||
Когато трябва да обръщаме двоично число в [[десетично число]] се ползват [[Степенуване (математика)|степените]] на числото 2, започвайки от 2 на степен 0 (всяко число на степен 0 е равно на 1), което се [[Умножение|умножава]] с най-дясната цифра в двоичното число. Придвижвайки се от дясно наляво степента на 2 се увеличава с 1. Получените произведения се [[Събиране|събират]]: |
|||
1<sub>2</sub> = (1.2<sup>0</sup>) = 1.1 = 1<sub>10</sub> |
|||
10<sub>2</sub> = (1.2<sup>1</sup>) + (0.2<sup>0</sup>) = 2 + 0 = 2<sub>10</sub> |
|||
1011<sub>2</sub> = (1.2<sup>3</sup>) + (0.2<sup>2</sup>) + (1.2<sup>1</sup>) + (1.2<sup>0</sup>) = 8 + 0 + 2 + 1 = 11<sub>10</sub> |
|||
Или започвайки от ляво надясно първата цифра от двоичното число се умножава по 2 на степен общото количеството цифри (бита) в числото намалено с 1, а всяко за следващо степента се намалява с 1. |
|||
== Изобразяване в байтове == |
|||
Чрез 8 бита в двоичната бройна система (което е прието за 1 байт) се изобразяват числата от 0 до 255. Всяко число над 255 се смята за втори байт и се образува второ число в двоичната система. Тоест, ако имаме числото 631, то е равно на 255 + 255 + 121, което в двоичен вид ще изглежда така: |
|||
{| class="wikitable" |
|||
|255 : 2 =oc.1 |
|||
|127 : 2 =oc.1 |
|||
|63 : 2 =oc.1 |
|||
|31 : 2 =oc.1 |
|||
|15 : 2 =oc.1 |
|||
|7 : 2 =oc.1 |
|||
|3 : 2 =oc.1 |
|||
|1 : 2 =oc.1 |
|||
| |
|||
|- |
|||
|121 : 2 =oc.1 |
|||
|60 : 2 =oc.0 |
|||
|30 : 2 =oc.0 |
|||
|15 : 2 =oc.1 |
|||
|7 : 2 = oc.1 |
|||
|3 : 2 =oc.1 |
|||
|1 : 2 =oc.1 |
|||
| |
|||
| |
|||
|} |
|||
Или иначе казано, числото 631 в двоичен вид, ще изглежда така: 111111111 + 111111111 + 11111001 |
|||
== Приложение == |
|||
Двоичната бройна система е фундаментална за възникването и развитието на изчислителната техника, [[информатика]]та и [[компютър|компютърните устройства]]. Нейните две цифри 0 и 1 технически лесно могат да бъдат дефинирани – по това дали в даден възел от електрическата/електронната верига протича или не протича ток, или е налице или не напрежение. От теоретична (и практическа) гледна точка електрическите/електронните вериги изградени на базата на двоична бройна система имат най-високата възможна шумозащитеност, тъй като за да бъде прочетена/записана погрешно някоя цифра, нивото на евентуален смущаващ сигнал трябва да бъде (в повечето случаи) приблизително половината от захранващото напрежение на веригата. Двоичното представяне на числата е удобно за конструктивно изпълнение (хардуерна реализация) на пресмятанията поради тяхната простота (виж [[Двоична алгебра]]). |
|||
== Вижте също == |
|||
* [[Бройна система]] |
|||
* [[Десетична бройна система]] |
|||
* [[Булева алгебра]] |
|||
* [[Двоичен код]] |
|||
* [[Огледален двоичен код]] |
|||
* [[Побитова операция]] |
|||
== Източници == |
|||
{{reflist}} |
|||
{{Уикицитат|Математика}} |
|||
[[Категория:Бройни системи]] |
[[Категория:Бройни системи]] |
Версия от 09:04, 9 февруари 2021
hiasd[uonnhio[o[aijrc