Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици)

Теоремата на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици) гласи, че: Всяка безкрайна и ограничена редица $r:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$ притежава сходяща подредица.

Доказателство

Нека $r:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$ и $\forall n\in \mathbb {N} \;\;a\leq r_{n}\leq b$ Ако $r$ има точка на сгъстяване $l$, то очевидно $l\in \left[a;b\right]$.

Да допуснем, че $r$ няма точка на сгъстяване. Тогава $\forall x\in \left[a;b\right]\exists$ околност $U_{x}$ на $x$, такава че $U_{x}$ съдържа само краен брой членове на $r$.

Тогава обединението $\Omega =\cup U_{x}$ е покритие на интервала $\left[a;b\right]$. От теоремата на Хайне-Борел следва, че $\Omega$ има крайно подпокритие $\Omega ^{\prime }$ състоящо се от краен брои интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на $r$. Но $r$ има безброй много членове в интервала $\left[a;b\right]$, което е противоречие и следователно $r$ има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.