Направо към съдържанието

Числен анализ: Разлика между версии

1193 байта добавени ,  преди 14 години
:<math> \mathbf{x} = \mathbf{A^{-1}}\cdot\mathbf{b}, </math>
 
където <math>\mathbf{A^{-1}}</math> е обратната матрица такава, че <math>\mathbf{A}\cdot\mathbf{A^{-1}}=\mathbf{I}</math>, а <math>\mathbf{I}</math> е единичната матрица. В случай на хомогенна система всичките неизвестни са нула. Ако детерминантата на квадратна матрица е нула, то съответната й система от линейни уравнения може да няма решение (несъвместима система) или да има безброй решения (неопределена система). Такива системи се наричат изродени. Резултатите от теорията на системи от линейни уравнения показват, че една система е или изродена или не. Когато детерминантата на матрицата е много малко число системата (задачата) е лошо обусловена или почти изродена. Това означава, че при малки отклонения на <math>\mathbf{b}</math> се получават големи грешки за решението <math>\mathbf{x}</math>. За оценка на това свойство се въвежда понятието число на обусловеност на матрицата <math>\mathbf{А}</math>.
 
 
ТакиваЛинейни системи уравнения възникват в редица технически задачи (напр. електрически вериги), както и при численото решаване на посочените по-горе диференциални уравнения. Методите за решаване на линейни системи уравнения се разделят на две групи: преки (директни) и итерационни. При първите решението се достига чрез определена последователност от краен брой (известен брой) изчислителни операции. Такива са методът на Гаус (метод с елиминиране на променливите), правилото (формулите) на Крамер, разлагане на матрицата по сингулярни стойности, <math>QR</math> разлагане, разлагане на Чолески, симплекс метод и др. За разлика от преките, итерационните методи дават решение след неточно определен брой изчислителни стъпки зависещ от критерия за сходимост и сложността на решаваната система. Стартирайки от зададено предварително предполагаемо решение, итеративният метод формира все по-точни приближени решения на всяка итерация оценявайки качеството на последните чрез подходяща кост функция. Ако има сходимост се достига приблизително до точното решение (теоритично до точното решение се достига след безкраен брой итерации), в противен случай обикновено се достига максималния брой итерации и изчислението се преустановява. По-известни методи от групата са: метод на Нютон, метод на бисекцията, метод на Якоби и др. Такива методи се използват за системи с голям брой уравнения, където преките методи не могат да се използват поради ограничения в изчислителната техника (ограничения свързани с размера на оперативната памет на компютрите).
 
Анонимен потребител