Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици): Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м Робот Добавяне: cy:Theorem Bolzano-Weierstrass |
Редакция без резюме |
||
Ред 1: | Ред 1: | ||
'''Теоремата на [[Болцано]]-[[Вайерщрас]] (за безкрайните редици)''' гласи, че: Всяка безкрайна и ограничена редица <math>r: \N\to\R</math> притежава сходяща подредица. |
'''Теоремата на [[Бернард Болцано|Болцано]]-[[Вайерщрас]] (за безкрайните редици)''' гласи, че: Всяка безкрайна и ограничена редица <math>r: \N\to\R</math> притежава сходяща подредица. |
||
===Доказателство=== |
===Доказателство=== |
Версия от 16:53, 24 януари 2008
Теоремата на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици) гласи, че: Всяка безкрайна и ограничена редица притежава сходяща подредица.
Доказателство
Нека и Ако има точка на сгъстяване , то очевидно .
Да допуснем, че няма точка на сгъстяване. Тогава околност на , такава че съдържа само краен брой членове на .
Тогава обединението е покритие на интервала . От теоремата на Хайне-Борел следва, че има крайно подпокритие състоящо се от краен брои интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на . Но има безброй много членове в интервала , което е противоречие и следователно има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.