Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици): Разлика между версии
adding ja:ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理 |
м Робот Добавяне: wuu:Bolzano-Weierstrass定理, zh-yue:波爾札奴-維爾斯打拉斯定理 |
||
Ред 33: | Ред 33: | ||
[[ru:Теорема Больцано — Вейерштрасса]] |
[[ru:Теорема Больцано — Вейерштрасса]] |
||
[[tr:Bolzano-Weierstrass teoremi]] |
[[tr:Bolzano-Weierstrass teoremi]] |
||
[[wuu:Bolzano-Weierstrass定理]] |
|||
[[zh:波爾查諾-魏爾施特拉斯定理]] |
[[zh:波爾查諾-魏爾施特拉斯定理]] |
||
[[zh-classical:波爾查諾-維爾斯特拉斯定理]] |
[[zh-classical:波爾查諾-維爾斯特拉斯定理]] |
||
[[zh-yue:波爾札奴-維爾斯打拉斯定理]] |
Версия от 02:49, 15 май 2008
Теоремата на Болцано - Вайерщрас (за безкрайните редици) гласи, че: Всяка безкрайна и ограничена редица притежава сходяща подредица.
Доказателство
Нека и Ако има точка на сгъстяване , то очевидно .
Да допуснем, че няма точка на сгъстяване. Тогава околност на , такава че съдържа само краен брой членове на .
Тогава обединението е покритие на интервала . От теоремата на Хайне - Борел следва, че има крайно подпокритие , състоящо се от краен брой интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на . Но има безбройно много членове в интервала , което е противоречие и следователно има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.
Тази теорема е доказана от чехския математик Болцано през 1817 г., а по-късно независимо от него е получена от Вайерщрас. Тя е една от основните теореми в математическия анализ.