Ред на Тейлър: Разлика между версии

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м Mixed words repair
м Робот Добавяне: ca, eo, fa, lt Изтриване: pl
Ред 94: Ред 94:
[[Категория:Математика]]
[[Категория:Математика]]


[[ca:Sèrie de Taylor]]
[[cs:Taylorova řada]]
[[cs:Taylorova řada]]
[[da:Taylorpolynomium]]
[[da:Taylorpolynomium]]
[[de:Taylorreihe]]
[[de:Taylorreihe]]
[[es:Serie de Taylor]]
[[en:Taylor series]]
[[en:Taylor series]]
[[eo:Serio de Taylor]]
[[es:Serie de Taylor]]
[[fa:بسط تیلور]]
[[fi:Taylorin sarja]]
[[fr:Série de Taylor]]
[[fr:Série de Taylor]]
[[ko:테일러 급수]]
[[it:Serie di Taylor]]
[[he:טור טיילור]]
[[he:טור טיילור]]
[[hu:Taylor-sor]]
[[hu:Taylor-sor]]
[[nl:Taylorreeks]]
[[it:Serie di Taylor]]
[[ja:テイラー展開]]
[[ja:テイラー展開]]
[[pl:Szereg Taylora]]
[[ko:테일러 급수]]
[[lt:Teiloro eilutė]]
[[nl:Taylorreeks]]
[[pt:Série de Taylor]]
[[pt:Série de Taylor]]
[[ru:Ряд Тейлора]]
[[ru:Ряд Тейлора]]
[[sl:Taylorjeva vrsta]]
[[sl:Taylorjeva vrsta]]
[[fi:Taylorin sarja]]
[[sv:Taylorserie]]
[[sv:Taylorserie]]
[[tr:Taylor serisi]]
[[tr:Taylor serisi]]

Версия от 18:25, 11 юни 2008

Колкото по-голяма е степента на реда на Тейлър, толкова по-близо са неговите стойности до истинската функция. Тук е показана графиката на и развития по Тейлър от степен 1, 3, 5, 7, 9, 11 и 13.

Ред на Тейлър или Развитие по Тейлър е апроксимация на реална или комплексна функция чрез представянето й като безкраен ред с общ член, изчислен от стойностите на производните на функцията в дадена точка. Това е възможно като пряко следствие на теоремата на Тейлър.

Ако функцията е безброй пъти диференцируема в отворения интервал (ar, a + r), тогава нейното развитие по Тейлър е степенният ред

(Тук f(n)(a) e n-тата производна на функцията, като нулевата е самата функция)

Редът е кръстен на английския математик Брук Тейлър. В случаите, когато a = 0, редът се нарича ред на Маклорен по името на шотландския математик Колин Маклорен (Colin Maclaurin).

Функции, които са точно равни на развитието си по Тейлър в произволна точка a, се наричат аналитични функции. Пример за такива са тригонометричните функции синус и косинус. Редът на Тейлър може да се използва, за да се получат всички стойности на аналитична функция, ако се знаят нейната стойност и стойностите на всичките й производни в дадена точка.

На графиката вдясно е илюстрирано развитието по Тейлър на sin x. Жълтата крива е от седма степен и е графика на

Редът на Тейлър се използва широко в приложната математика и математическия анализ. Някои от приложенията му са:

  • Директно получаване на приблизителна стойност на функция.
  • Доказателство на теореми от математическия анализ.

История

Най-ранните ползвания на степенни редове, включително и някои развития по Тейлър, са от XIV век, от индийския математик Мадхава Сангамаграма. Той използва апроксимации по Тейлър за синус, косинус, тангенс и аркустангенс, но не генерализира редовете.

В края на XVII век Джеймс Грегъри също работи в тази посока и публикува няколко реда на Маклорен, но също не вижда обобщението.

През 1715 Брук Тейлър доказва и генреализира теоремата си, пряко следствие на която е този обобщен ред.

Колин Маклорен изследва специалния случай във втората половина на XVII век.

Развитие на някои прости функции

където B са числа на Бернули.
където E са числа на Ойлер


Изчисляване

Има редица методи за изчисляване на реда на Тейлър за голям брой функции. Редът може да се ползва както е даден за основните функции, а усилията да се насочат в генерализирането на коефициентите. Освен това, тъй като редът на Тейлър в общия случай е степенен, може да се използват неговите свойства за свободно умножение, деление, събиране и изваждане на основните редове. В някои случаи е най-доброто решение е редът да се интегрира няколко пъти по части.

Вижте също

Външни препратки