Формула на Ойлер: Разлика между версии
→Извод: позволявам си малко уточнение |
|||
Ред 29: | Ред 29: | ||
:<math> \frac{ d z }{z} = id\varphi </math> |
:<math> \frac{ d z }{z} = id\varphi </math> |
||
:<math> \int \frac{ d z }{z} = \int id\varphi </math> |
:<math> \int \frac{ d z }{z} = \int id\varphi </math> |
||
:<math> \ln z = i\varphi </math> |
:<math> \ln z = i\varphi +C^{te}</math> |
||
:<math> z = |
:<math> z = Ae^{i\varphi} </math> |
||
където А е произволна константа, която се определя със следното съображение: |
|||
:<math> z(0) = A = \cos(0) + i\sin(0) = 1</math> |
|||
и оттук |
и оттук |
||
:<math> e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi \!</math>. |
:<math> e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi \!</math>. |
Версия от 09:39, 16 юни 2008
Формулата на Ойлер е математическа формула от областта на комплексния анализ, показваща дълбоката връзка между тригонометричните функции и комплексната експоненциална функция.
Формулата на Ойлер гласи че за всяко реално число :
- където: е - основа на натуралния логаритъм,
- i - имагинерна единица,
- и са тригонометрични функции.
Ричард Файнман нарича формулата на Ойлер "скъпоценен камък" и "най-важната формула" в цялата математика (Feynman, p. 22-10).
Графика, показваща взаимовръзката между , и комплексната експоненциална функция. Ако искаме да обясним формилата на Ойлер с най-прости думи, това е равносилно на ротация на единичен вектор на ъгъл .
Извод
Уравнението на Ойлер може да бъде изведено по много начини, но един от най-елегантните изводи прибягва до помощта на комплексен интеграл. Нека z е комплексно число в тригонометричен вид
- .
След диференциране и преобразуване, получаваме
където А е произволна константа, която се определя със следното съображение:
и оттук
- .
Тъждество на Ойлер
В частния случай, когато
получаваме
Доколкото
и
следва
а оттук и
което е и прочутото тъждество на Ойлер. По същия начин, когато аргументът е равен на получаваме
друга многозначителна математическа зависимост, свързана с имагинерната единица.