Хилбертово пространство: Разлика между версии
Редакция без резюме |
Редакция без резюме |
||
Ред 4: | Ред 4: | ||
Пространствата на Хилберт се използват широко в математиката и физиката. Те са изключително важен инструмент в теорията на частните диференциални уравнения, квантовата механика и обработката на сигнали. Благодарение на тази теория бяха достигнати много успехи в областта на функционалния анализ. |
Пространствата на Хилберт се използват широко в математиката и физиката. Те са изключително важен инструмент в теорията на частните диференциални уравнения, квантовата механика и обработката на сигнали. Благодарение на тази теория бяха достигнати много успехи в областта на функционалния анализ. |
||
Геометрическата интуиция играе важна роля в много от насоките на Хилбертовото пространство. Елемент от Хилбертово пространство може да бъде еднозначно зададен посредством координатите спрямо ортонормална координатна система, по аналогия с картезианските координати в равнината. Когато базовата координатна система е безкрайна, това означава че Хилбертовото пространство е безкрайна последователност от квадратни суми. Линейните оператори в Хилбертово пространство са съвсем конкретни обекти. В най-добрите случаи те са трансформации, които разширяват пространството с даден фактор във взаимно перпендикулярни посоки. |
Геометрическата интуиция играе важна роля в много от насоките на Хилбертовото пространство. Елемент от Хилбертово пространство може да бъде еднозначно зададен посредством координатите спрямо ортонормална координатна система, по аналогия с картезианските координати в равнината. Когато базовата координатна система е безкрайна, това означава че Хилбертовото пространство е безкрайна последователност от квадратни суми. Линейните оператори в Хилбертово пространство са съвсем конкретни обекти. В най-добрите случаи те са трансформации, които разширяват пространството с даден фактор във взаимно перпендикулярни посоки. |
||
== Дефиниция и примери == |
|||
Пространство на Хилберт е реално или комплексно произведение, което е пълно съгласно нормите дефинирани от произведението <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> на |
|||
<math> \|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}</math> . |
|||
== Събиране == |
|||
Две Хилбертови пространства H1 и H2 могат да бъдат комбинирани в едно общо Хилбертово пространство, наричано директна ортогонална сума и обозначавано като: |
|||
<math>H_1\oplus H_2</math>, |
|||
състоящо се от множеството от всички подредени двойки (x1, x2) където xi ∈ Hi, i = 1,2, и модул |
|||
<math>\langle (x_1,x_2), (y_1,y_2)\rangle_{H_1\oplus H_2} = \langle x_1,y_1\rangle_{H_1} + \langle x_2,y_2\rangle_{H_2}</math>. |
|||
Най-общо ако Hi е фамилия от Хилбертови пространства индексирани по i ∈ I, тогава директната сума от Hi се означава като: |
|||
<math>\bigoplus_{i\in I}H_i</math> |
|||
състояща се от множеството от всички индексирани фамилии |
|||
<math>x=(x_i\in H_i|i\in I) \in \prod_{i\in I}H_i</math> |
|||
от картезиански произведения от Hi, такива че |
|||
<math>\sum_{i\in I} \|x_i\|^2 < \infty</math>. |
|||
Модул се нарича |
|||
<math>\langle x, y\rangle = \sum_{i\in I} \langle x_i, y_i\rangle_{H_i}</math>. |
|||
Всяко от пространствата Hi е включено като затворено подпространство в директните суми на всички Hi. |
|||
Нещо повече пространствата Hi са взаимно ортогонални. |
|||
Версия от 20:58, 19 август 2008
Математическото разбиране за Хилбертово пространство обобщава понятията от Евклидово пространство. То разширява методите на векторната алгебра от двудименсионна равнина и тридименсионно пространство към многомерните пространства. Ако трябва да го дефинираме с по-строги математически термини, Хилбертовото пространство е векторно произведение в което разтоянията и ъглите могат да бъдат измерени и което е пълно. Тоест за всяка редица от вектори на Коши съществува граница в пространството.
Пространствата на Хилберт се използват широко в математиката и физиката. Те са изключително важен инструмент в теорията на частните диференциални уравнения, квантовата механика и обработката на сигнали. Благодарение на тази теория бяха достигнати много успехи в областта на функционалния анализ. Геометрическата интуиция играе важна роля в много от насоките на Хилбертовото пространство. Елемент от Хилбертово пространство може да бъде еднозначно зададен посредством координатите спрямо ортонормална координатна система, по аналогия с картезианските координати в равнината. Когато базовата координатна система е безкрайна, това означава че Хилбертовото пространство е безкрайна последователност от квадратни суми. Линейните оператори в Хилбертово пространство са съвсем конкретни обекти. В най-добрите случаи те са трансформации, които разширяват пространството с даден фактор във взаимно перпендикулярни посоки.
Дефиниция и примери
Пространство на Хилберт е реално или комплексно произведение, което е пълно съгласно нормите дефинирани от произведението на
.
Събиране
Две Хилбертови пространства H1 и H2 могат да бъдат комбинирани в едно общо Хилбертово пространство, наричано директна ортогонална сума и обозначавано като:
,
състоящо се от множеството от всички подредени двойки (x1, x2) където xi ∈ Hi, i = 1,2, и модул
.
Най-общо ако Hi е фамилия от Хилбертови пространства индексирани по i ∈ I, тогава директната сума от Hi се означава като:
състояща се от множеството от всички индексирани фамилии
от картезиански произведения от Hi, такива че
.
Модул се нарича
.
Всяко от пространствата Hi е включено като затворено подпространство в директните суми на всички Hi.
Нещо повече пространствата Hi са взаимно ортогонални.
Външни препратки
- []
Източници
Вижте също
- [[]]