Хилбертово пространство: Разлика между версии

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Nmath (беседа | приноси)
Nmath (беседа | приноси)
Ред 57: Ред 57:


== Вижте също ==
== Вижте също ==
* Обозначения[http://en.wikipedia.org/wiki/Bra-ket_notation]
* [[en:Bra-ket notation]]





Версия от 23:22, 19 август 2008

Математическото разбиране за Хилбертово пространство обобщава понятията от Евклидово пространство. То разширява методите на векторната алгебра от двудименсионна равнина и тридименсионно пространство към многомерните пространства. Ако трябва да го дефинираме с по-строги математически термини, Хилбертовото пространство е векторно произведение в което разтоянията и ъглите могат да бъдат измерени и което е пълно. Тоест за всяка редица от вектори на Коши съществува граница в пространството.

Пространствата на Хилберт се използват широко в математиката и физиката. Те са изключително важен инструмент в теорията на частните диференциални уравнения, квантовата механика и обработката на сигнали. Благодарение на тази теория бяха достигнати много успехи в областта на функционалния анализ. Геометрическата интуиция играе важна роля в много от насоките на Хилбертовото пространство. Елемент от Хилбертово пространство може да бъде еднозначно зададен посредством координатите спрямо ортонормална координатна система, по аналогия с картезианските координати в равнината. Когато базовата координатна система е безкрайна, това означава че Хилбертовото пространство е безкрайна последователност от квадратни суми. Линейните оператори в Хилбертово пространство са съвсем конкретни обекти. В най-добрите случаи те са трансформации, които разширяват пространството с даден фактор във взаимно перпендикулярни посоки.


Дефиниция и примери

Пространство на Хилберт е реално или комплексно векторно пространство, което е пълно и в което модула се определя от скаларното произведение посредством формулата:

.

Събиране

Две Хилбертови пространства H1 и H2 могат да бъдат комбинирани в едно общо Хилбертово пространство, наричано директна ортогонална сума и обозначавано като:


,

състоящо се от множеството от всички подредени двойки (x1, x2) където xi ∈ Hi, i = 1,2, и скаларното произведение


.


Най-общо ако Hi е фамилия от Хилбертови пространства индексирани по i ∈ I, тогава директната сума от Hi се означава като:

състояща се от множеството от всички индексирани фамилии

от картезиански произведения от Hi, такива че


.

Скаларно произведение се нарича

.

Всяко от пространствата Hi е включено като затворено подпространство в директните суми на всички Hi.

Нещо повече пространствата Hi са взаимно ортогонални.

Външни препратки

  • []


Източници



Вижте също

  • Обозначения[1]