Формула на Ойлер: Разлика между версии

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
SieBot (беседа | приноси)
м Робот Добавяне: is, ja, pl, sr Промяна: he
Ред 80: Ред 80:
[[fi:Eulerin lause (funktioteoria)]]
[[fi:Eulerin lause (funktioteoria)]]
[[fr:Formule d'Euler]]
[[fr:Formule d'Euler]]
[[he:נוסחת אוילר]]
[[he:נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)]]
[[id:Rumus Euler]]
[[id:Rumus Euler]]
[[is:Jafna Eulers]]
[[it:Formula di Eulero]]
[[it:Formula di Eulero]]
[[ja:オイラーの公式]]
[[ko:오일러의 공식]]
[[ko:오일러의 공식]]
[[lt:Oilerio formulė]]
[[lt:Oilerio formulė]]
[[nl:Formule van Euler]]
[[nl:Formule van Euler]]
[[no:Eulers formel]]
[[no:Eulers formel]]
[[pl:Wzór Eulera]]
[[pt:Fórmula de Euler]]
[[pt:Fórmula de Euler]]
[[ro:Formula lui Euler]]
[[ro:Formula lui Euler]]
[[ru:Формула Эйлера]]
[[ru:Формула Эйлера]]
[[sr:Ојлерова формула]]
[[sv:Eulers formel]]
[[sv:Eulers formel]]
[[th:สูตรของออยเลอร์]]
[[th:สูตรของออยเลอร์]]

Версия от 05:05, 23 септември 2008

Формулата на Ойлер е математическа формула от областта на комплексния анализ, показваща дълбоката връзка между тригонометричните функции и комплексната експоненциална функция.

Формулата на Ойлер гласи че за всяко реално число :

където: е - основа на натуралния логаритъм,
i - имагинерна единица,
и са тригонометрични функции.

Ричард Файнман нарича формулата на Ойлер "скъпоценен камък" и "най-важната формула" в цялата математика (Feynman, p. 22-10).

Графика, показваща взаимовръзката между , и комплексната експоненциална функция. Ако искаме да обясним формилата на Ойлер с най-прости думи, това е равносилно на ротация на единичен вектор на ъгъл .

Извод

Уравнението на Ойлер може да бъде изведено по много начини, но един от най-елегантните изводи прибягва до помощта на комплексен интеграл. Нека z е комплексно число с модул единица в тригонометричен вид

.

След диференциране и преобразуване, получаваме

където А е произволна константа, която се определя със следното съображение:

и оттук

.

Тъждество на Ойлер

В частния случай, когато

получаваме

Доколкото

и

следва

а оттук и

което е и прочутото тъждество на Ойлер. По същия начин, когато аргументът е равен на получаваме


друга многозначителна математическа зависимост, свързана с имагинерната единица.