Формула на Ойлер: Разлика между версии
м Робот Добавяне: is, ja, pl, sr Промяна: he |
|||
Ред 80: | Ред 80: | ||
[[fi:Eulerin lause (funktioteoria)]] |
[[fi:Eulerin lause (funktioteoria)]] |
||
[[fr:Formule d'Euler]] |
[[fr:Formule d'Euler]] |
||
[[he:נוסחת אוילר]] |
[[he:נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)]] |
||
[[id:Rumus Euler]] |
[[id:Rumus Euler]] |
||
[[is:Jafna Eulers]] |
|||
[[it:Formula di Eulero]] |
[[it:Formula di Eulero]] |
||
[[ja:オイラーの公式]] |
|||
[[ko:오일러의 공식]] |
[[ko:오일러의 공식]] |
||
[[lt:Oilerio formulė]] |
[[lt:Oilerio formulė]] |
||
[[nl:Formule van Euler]] |
[[nl:Formule van Euler]] |
||
[[no:Eulers formel]] |
[[no:Eulers formel]] |
||
[[pl:Wzór Eulera]] |
|||
[[pt:Fórmula de Euler]] |
[[pt:Fórmula de Euler]] |
||
[[ro:Formula lui Euler]] |
[[ro:Formula lui Euler]] |
||
[[ru:Формула Эйлера]] |
[[ru:Формула Эйлера]] |
||
[[sr:Ојлерова формула]] |
|||
[[sv:Eulers formel]] |
[[sv:Eulers formel]] |
||
[[th:สูตรของออยเลอร์]] |
[[th:สูตรของออยเลอร์]] |
Версия от 05:05, 23 септември 2008
Формулата на Ойлер е математическа формула от областта на комплексния анализ, показваща дълбоката връзка между тригонометричните функции и комплексната експоненциална функция.
Формулата на Ойлер гласи че за всяко реално число :
- където: е - основа на натуралния логаритъм,
- i - имагинерна единица,
- и са тригонометрични функции.
Ричард Файнман нарича формулата на Ойлер "скъпоценен камък" и "най-важната формула" в цялата математика (Feynman, p. 22-10).
Графика, показваща взаимовръзката между , и комплексната експоненциална функция. Ако искаме да обясним формилата на Ойлер с най-прости думи, това е равносилно на ротация на единичен вектор на ъгъл .
Извод
Уравнението на Ойлер може да бъде изведено по много начини, но един от най-елегантните изводи прибягва до помощта на комплексен интеграл. Нека z е комплексно число с модул единица в тригонометричен вид
- .
След диференциране и преобразуване, получаваме
където А е произволна константа, която се определя със следното съображение:
и оттук
- .
Тъждество на Ойлер
В частния случай, когато
получаваме
Доколкото
и
следва
а оттук и
което е и прочутото тъждество на Ойлер. По същия начин, когато аргументът е равен на получаваме
друга многозначителна математическа зависимост, свързана с имагинерната единица.