Хилбертово пространство: Разлика между версии
Редакция без резюме |
мРедакция без резюме |
||
Ред 2: | Ред 2: | ||
Математическото разбиране за Хилбертово пространство обобщава понятията от Евклидово пространство. То разширява методите на векторната алгебра от двумерната равнина и тримерното пространство към многомерните пространства. |
Математическото разбиране за Хилбертово пространство обобщава понятията от Евклидово пространство. То разширява методите на векторната алгебра от двумерната равнина и тримерното пространство към многомерните пространства. |
||
Ако трябва да го дефинираме с по-строги математически термини, Хилбертовото пространство е векторно произведение,в което разстоянията и ъглите могат да бъдат измерени и,което е пълно. Тоест за всяка редица от вектори на [[Коши]] съществува граница в пространството. |
Ако трябва да го дефинираме с по-строги математически термини, Хилбертовото пространство е векторно произведение,в което разстоянията и ъглите могат да бъдат измерени и,което е пълно. Тоест за всяка редица от вектори на [[Коши]] съществува граница в пространството. |
||
Пространствата на Хилберт се използват широко в математиката и физиката. Те са изключително важен инструмент в теорията на частните диференциални уравнения, квантовата механика и обработката на сигнали. Благодарение на тази теория бяха достигнати много успехи в областта на функционалния анализ. |
Пространствата на Хилберт се използват широко в математиката и физиката. Те са изключително важен инструмент в теорията на частните диференциални уравнения, квантовата механика и обработката на сигнали. Благодарение на тази теория бяха достигнати много успехи в областта на функционалния анализ. |
||
Геометрическата интуиция играе важна роля в много от насоките на Хилбертовото пространство. Елемент от Хилбертово пространство може да бъде еднозначно зададен посредством координатите спрямо ортонормирана координатна система, по аналогия с картезианските координати в равнината. Когато базовата координатна система е безкрайна, това означава че Хилбертовото пространство е безкрайна последователност от квадратни суми. Линейните оператори в Хилбертово пространство са съвсем конкретни обекти. В най-добрите случаи те са трансформации, които разширяват пространството с даден фактор във взаимно перпендикулярни посоки. |
Геометрическата интуиция играе важна роля в много от насоките на Хилбертовото пространство. Елемент от Хилбертово пространство може да бъде еднозначно зададен посредством координатите спрямо ортонормирана координатна система, по аналогия с картезианските координати в равнината. Когато базовата координатна система е безкрайна, това означава че Хилбертовото пространство е безкрайна последователност от квадратни суми. Линейните оператори в Хилбертово пространство са съвсем конкретни обекти. В най-добрите случаи те са трансформации, които разширяват пространството с даден фактор във взаимно перпендикулярни посоки. |
||
== Дефиниция и примери == |
== Дефиниция и примери == |
||
Пространство на Хилберт е реално или комплексно векторно пространство, което е пълно и,в което модула се определя от скаларното произведение <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> посредством формулата: |
Пространство на Хилберт е реално или комплексно векторно пространство, което е пълно и,в което модула се определя от скаларното произведение <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> посредством формулата: |
||
Ред 16: | Ред 15: | ||
== Събиране == |
== Събиране == |
||
Две Хилбертови пространства H1 и H2 могат да бъдат комбинирани в едно общо Хилбертово пространство, наричано директна ортогонална сума и обозначавано като: |
Две Хилбертови пространства H1 и H2 могат да бъдат комбинирани в едно общо Хилбертово пространство, наричано директна ортогонална сума и обозначавано като: |
||
<math>H_1\oplus H_2</math>, |
<math>H_1\oplus H_2</math>, |
||
състоящо се от множеството от всички подредени двойки (x1, x2) където xi ∈ Hi, i = 1,2, и скаларното произведение |
състоящо се от множеството от всички подредени двойки (x1, x2) където xi ∈ Hi, i = 1,2, и скаларното произведение |
||
<math>\langle (x_1,x_2), (y_1,y_2)\rangle_{H_1\oplus H_2} = \langle x_1,y_1\rangle_{H_1} + \langle x_2,y_2\rangle_{H_2}</math>. |
<math>\langle (x_1,x_2), (y_1,y_2)\rangle_{H_1\oplus H_2} = \langle x_1,y_1\rangle_{H_1} + \langle x_2,y_2\rangle_{H_2}</math>. |
||
Най-общо ако Hi е фамилия от Хилбертови пространства индексирани по i ∈ I, тогава директната сума от Hi се означава като: |
Най-общо ако Hi е фамилия от Хилбертови пространства индексирани по i ∈ I, тогава директната сума от Hi се означава като: |
||
Ред 37: | Ред 32: | ||
от картезиански произведения от Hi, такива че |
от картезиански произведения от Hi, такива че |
||
<math>\sum_{i\in I} \|x_i\|^2 < \infty</math>. |
<math>\sum_{i\in I} \|x_i\|^2 < \infty</math>. |
||
Ред 47: | Ред 41: | ||
Всяко от пространствата Hi е включено като затворено подпространство в директните суми на всички Hi. |
Всяко от пространствата Hi е включено като затворено подпространство в директните суми на всички Hi. |
||
Нещо повече пространствата |
Нещо повече, пространствата Hi са взаимно ортогонални. |
||
== Външни препратки == |
|||
* [] |
|||
== Източници == |
== Източници == |
||
<references /> |
<references /> |
||
== Вижте също == |
== Вижте също == |
||
* |
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Bra-ket_notation Обозначения] |
||
[[Категория:Физика |
[[Категория:Физика]] |
||
[[Категория:Математика |
[[Категория:Математика]] |
||
[[ar:فضاء هلبرت]] |
[[ar:فضاء هلبرت]] |
Версия от 14:37, 8 март 2009
Тази статия се нуждае от подобрение. Необходимо е: форматиране. Ако желаете да помогнете на Уикипедия, използвайте опцията редактиране в горното меню над статията, за да нанесете нужните корекции. |
Математическото разбиране за Хилбертово пространство обобщава понятията от Евклидово пространство. То разширява методите на векторната алгебра от двумерната равнина и тримерното пространство към многомерните пространства.
Ако трябва да го дефинираме с по-строги математически термини, Хилбертовото пространство е векторно произведение,в което разстоянията и ъглите могат да бъдат измерени и,което е пълно. Тоест за всяка редица от вектори на Коши съществува граница в пространството.
Пространствата на Хилберт се използват широко в математиката и физиката. Те са изключително важен инструмент в теорията на частните диференциални уравнения, квантовата механика и обработката на сигнали. Благодарение на тази теория бяха достигнати много успехи в областта на функционалния анализ.
Геометрическата интуиция играе важна роля в много от насоките на Хилбертовото пространство. Елемент от Хилбертово пространство може да бъде еднозначно зададен посредством координатите спрямо ортонормирана координатна система, по аналогия с картезианските координати в равнината. Когато базовата координатна система е безкрайна, това означава че Хилбертовото пространство е безкрайна последователност от квадратни суми. Линейните оператори в Хилбертово пространство са съвсем конкретни обекти. В най-добрите случаи те са трансформации, които разширяват пространството с даден фактор във взаимно перпендикулярни посоки.
Дефиниция и примери
Пространство на Хилберт е реално или комплексно векторно пространство, което е пълно и,в което модула се определя от скаларното произведение посредством формулата:
.
Събиране
Две Хилбертови пространства H1 и H2 могат да бъдат комбинирани в едно общо Хилбертово пространство, наричано директна ортогонална сума и обозначавано като:
,
състоящо се от множеството от всички подредени двойки (x1, x2) където xi ∈ Hi, i = 1,2, и скаларното произведение
.
Най-общо ако Hi е фамилия от Хилбертови пространства индексирани по i ∈ I, тогава директната сума от Hi се означава като:
състояща се от множеството от всички индексирани фамилии
от картезиански произведения от Hi, такива че
.
Скаларно произведение се нарича
.
Всяко от пространствата Hi е включено като затворено подпространство в директните суми на всички Hi.
Нещо повече, пространствата Hi са взаимно ортогонални.
Източници