Подобие

Подобие е геометричен термин за свойството на геометричните фигури да имат еднаква форма без значение от размерите. Две фигури F₁ и F₂ се наричат подобни, ако между точките им съществува взаимно еднозначно изображение, при което отношенията на разстоянията между всяка двойка съответни точки от фигурите е постоянно неотрицателно число, наречено коефициент на подобие. Терминът е приложим не само за равнинни фигури, но и за тела от тримерното пространство.

В сила са следните твърдения:

• Подобието запазва равни ъглите между съответните линии на фигурите.
• Подобие с коефициент k = 1 се нарича еднаквост.
• Отношението между периметрите на подобните фигури е равно на коефициента на подобие k.
• Отношението между лицата на подобните фигури е равно на k².
• Отношението между обемите на подобни тела е равно на k³.
• Два фигури, поотделно подобни на трета, са подобни и помежду си.

Подобните фигури е прието да се означават със символа ~ (тилда), например: $\textstyle {\triangle ABC\sim \triangle A'B'C'}$

Подобие на триъгълници

Подобни триъгълници

Като най-проста равнинна фигура, чрез която са представими всички останали многоъгълници, триъгълникът представлява по-специален интерес при изследването на подобието. Признаците за подобие на триъгълници се изучават в 9 клас на училищния курс по математика в България.

• Първи признак — Ако два ъгъла от един триъгълник са равни на два ъгъла от друг триъгълник, то двата триъгълника са подобни.
• Втори признак — Ако две страни на един триъгълник са съответно пропорционални на две страни на друг триъгълник и ъглите заключени между тези страни са равни, то двата триъгълника са подобни.
• Трети признак — Ако трите страни на един триъгълник са съответно пропорционални на трите страни на друг триъгълник, то двата триъгълника са подобни.
• Четвърти признак — Ако две страни на един триъгълник са съответно пропорционални на две страни от друг триъгълник и ъглите срещу по-големите от тези страни, са равни, то двата триъгълника са подобни.

Следствия

• Височините, ъглополовящите и медианите в подобни триъгълници с коефициент на подобие k са пропорционални със същия коефициент.
• Всеки два равностранни триъгълника са подобни.
• Два равнобедрени триъгълника са подобни, ако:
  • ъгъл при основата на единия е съответно равен на ъгъл при основата на другия.
  • ъглите, които лежат срещу основите им, са съответно равни.
  • основата и бедрото на единия равнобедрен триъгълник са съответно пропорционални на основата и бедрото от другия.
• Всеки два правоъгълни триъгълника са подобни, ако:
  • остър ъгъл от единия е съответно равен на остър ъгъл от другия.
  • катетите на единия са съответно пропорционални на катетите на другия.
  • катет и хипотенуза от единия са съответно пропорционални на катет и хипотенуза от другия.

Вижте също

• Еднаквост
• Еднаквост на триъгълници