Математически анализ

Математически анализ е клон от математиката, който се занимава с изследване на поведението на математическите функции. Той има две основни подразделения - диференциално смятане и интегрално смятане. Диференциалното смятане изследва скоростта на изменение на функциите, а интегралното смятане се занимава с натрупванията на стойности вследствие от някаква функция. Например, ако познаваме по какъв начин се изменя положението на някакъв обект с течение на времето, то с помощта на диференциалното смятане можем да определим скоростта на този обект във всеки момент от неговото придвижване. И обратното, ако знаем как се е изменяла скоростта му във времето, то с помощта на интегралното смятане можем да определим местоположението му във всеки момент.

Основните понятия, с които работи математическият анализ, са:

• диференциал, което означава безкрайно малка промяна на някаква стойност;
• граница и сходимост на функция;
• диференциране, или изчисляване на стръмността на функция;
• интегриране, или изчислявяне на натрупването на някаква стойност.

Математическият анализ намира приложение в почти всички науки, които използват математически апарат, но най-често се използва във физиката, електрониката, информатиката, икономиката и др.

В ежедневието често математическият анализ се прилага подсъзнателно. Например, ако наблюдаваме движението на един автомобил, ние нямаме представа директно за скоростта му (не виждаме скоростомера му), но когато видим как (колко бързо) се изменя положението му на пътя, успяваме да преценим и скоростта му.

Основни понятия

Безкрайно малки величини и граници

В основата на математическия анализ са изчисленията с участие на много малки стойности. Първоначално за тази цел са използвани безкрайно малките величини - математически обекти, които могат да бъдат разглеждани като числа, но в действителност по абсолютна стойност са по-малки от всяко реално число. Така безкрайно малката величина dx може да бъде по-голяма от 0 и по-малка от всяко число от редицата 1, 1/2, 1/3, ... Произведенията на безкрайно малките величини с крайни числа остават безкрайно малки, като по този начин нарушават валидната за същинските числа аксиома на Архимед.

Дефинирането на математическия анализ като сбор от техники за манипулиране на безкрайно малки величини губи популярност през 19 век, поради затрудненията в тяхното строго и прецизно дефиниране. По това време използването им е изместено от новата концепция за граница. Границите изразяват стойността на дадена функция при определена стойност на нейните параметри чрез стойностите на функцията при близки стойности на параметрите. Както и безкрайно малките величини, границите се използват за описване на дребномащабното поведение на функциите, но оставайки в рамките на системата на реалните числа.

От тази гледна точка анализът се превръща в сбор от техники за манипулиране на граници. Границите са най-простият начин за строго дефиниране на анализа и продължават да бъдат най-често използвания подход и в наши дни. В същото време през 20 век се достига до строги дефиниции и с помощта на безкрайно малките величини, като този подход намира приложение в области като нестандартния анализ.

Диференциране

Този раздел е празен или е мъниче. Можете да помогнете на Уикипедия, като го разширите.

Интегриране

Този раздел е празен или е мъниче. Можете да помогнете на Уикипедия, като го разширите.

Фундаментална теорема на анализа

Този раздел е празен или е мъниче. Можете да помогнете на Уикипедия, като го разширите.

История

Първите сведения за прилагане на идеите на математическия анализ и по-специално на интегралното смятяне са от Древна Гърция от 200 г.пр.н.е., когато Евдокс предлага метод за изчисляване на площта (лицето) на дадена фигура чрез вписани в нея фигури, чиято площ клони към площта на оригиналната фигура (например лицето на кръг може да се изчисли чрез лицето на вписан в него правилен многоъгълник).

В Индия през 499 г. математикът и астроном Ариабхата използва идеята за безкрайно малки стойности, за да изрази астрономическа задача чрез диференциално уравнение. През XII век - пак в Индия, се появява идеята за производна като граница.

Съвременният вариант на математическия анализ е въведен през XVII в. от Исак Нютон и Готфрид Лайбниц независимо един от друг. На Лайбниц дължим повечето от означенията в този дял на математиката.

Литература

• Дойчин Дойчинов, Математически анализ, Университетско изд. "Св. Климент Охридски", С., 2006, ISBN 954-8495-35-X.
• П.Джаков, Р. Малеев, Р. Леви, С. Троянски, Диференциално и интегрално смятане, Факултет по математика и информатика, СУ „Св. Климент Охридски“, 2007.

Вижте още

• Функция
• Граница (математика)

Външни препратки

• Статия за математическия анализ в сайта на Wolfram