Платоново тяло: Разлика между версии

Изтрито е съдържание Добавено е съдържание

Линейно

Версия от 11:40, 16 юли 2013

Платоновите тела са правилни многостени, които се характеризират с еднакви правилни многоъгълници за стени и равни многостенни ъгли.

Съществуват само пет правилни изпъкнали многостена.

Oбяснението е в това, че за многостенен (телесен) ъгъл с n ръба, сборът от ръбните ъгли трябва да бъде по-малък от 360 градуса, като ъглите на правилните многоъгълници могат да бъдат само 108, 90 и 60 градуса, съответсващи на петоъгълник, четириъгълник и триъгълник. Tака в един връх на платоново тяло могат да се срещат 3 петоъгълника, 3 четириъгълника, и 3, 4 или 5 триъгълника. Поради тази причина съществуват само пет платонови тела (правилни многостени). Така подредени те се наричат: додекаедър (дванадесетостен), хексаедър или куб (шестостен), тетраедър (четиристен), октаедър (осмостен) и икосаедър (двадесетостен).

Платоново тяло	Стени	Брой стени	Брой ръбове	Брой върхове	Брой стени през връх	Повърхнина S	Обем V
Тетраедър	триъгълник	4	6	4	3	$S=a^{2}{\sqrt {3}}$	$V={\frac {a^{3}{\sqrt {2}}}{12}}$
Хексаедър (куб)	квадрат	6	12	8	3	$S=6a^{2}\,$	$V=a^{3}\,$
Октаедър	триъгълник	8	12	6	4	$S=2a^{3}{\sqrt {3}}$	$V={\frac {a^{3}{\sqrt {2}}}{3}}$
Додекаедър	петоъгълник	12	30	20	3	$S=3a^{2}{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}$	$V={\frac {a^{3}(15+7{\sqrt {5}})}{4}}$
Икосаедър	триъгълник	20	30	12	5	$S=5a^{2}{\sqrt {3}}$	$V={\frac {5a^{3}(3+{\sqrt {5}})}{12}}$

Свойства

Платоновите тела има множество интересни (нетривиални) свойства.

Тъй като са изградени от правилно разположени правилни многоъгълници, то центровете на стените им също образуват платонови тела. Така центровете на стените на куба образуват октаедър и, обратно, центровете на октаедър образуват куб. Аналогично свойство имат додекаедърът и октаедърът. При тетраедъра се получава пак тетраедър. Това свойство се описва като 'дуалност' и то е израз на симетрията, присъща на трите различаваши се случая.

История

Правилните многостени стават известни като '(петте) Платонови тела', тъй като Платон обяснява с тях устройството на вселената. Това е направено в съчинения от него диалог "Тимей" ^[1] (IV в.пр.н.е.). Там четитрите стихии (земя, вода, въздух, огън) са предтавени съответно като състоящи се от кубове, икосаедри, октаедри, тетраедри. На оставащият пети многостен, додекаедърът, е приписано предтавянето на космоса като цяло.

На практика правилни многостени са били известни дълго преди появата на класическите цивилизации^[2]. Схващането им като специален клас обаче е зафиксирано в традицията на питагорейците.

В книга XIII от "Елементи" на Евклид, са изследвани по- строго техните свойства и е приведено доказaтелство, че няма други освен вече известните пет^[3].

Интересът към правилните многостени се завъща отчетливо през ренесанса. В края на 15в. пълният текст на платоновия диалог отново става достъпен. Йохан Кеплер обяснява хелиоцентричния модел предложен от Коперник като помества между орбитите на шестте известни планети платоновите многостени.

Бележки

↑ Платон, Диалози, т.4, София: Наука и изкуство, 1990, с. 508 и сл.
↑ Lloyd D. R, (2012), How old are the Platonic Solids?, BSHM Bulletin: J. of the British Society for the History of Mathematics, 27:3, 131-140
↑ Заглавието Елементи е латински еквивалент на гръцкото стихии

Вижте също

Външни препратки

Информация за платоновите тела, Wolfram MathWorld
Hart G., Neolithic Carved Stone Polyhedra;

[1] Платон, Диалози, т.4, София: Наука и изкуство, 1990, с. 508 и сл.

[2] Lloyd D. R, (2012), How old are the Platonic Solids?, BSHM Bulletin: J. of the British Society for the History of Mathematics, 27:3, 131-140

[3] Заглавието Елементи е латински еквивалент на гръцкото стихии

[1]

[2]

[3]

@@ Ред 23: / Ред 23: @@
 ==Свойства==
 Платоновите тела има множество интересни (нетривиални) свойства.
-[[Image:Dual Cube-Octahedron.svg|thumb|right|120px|Dуалност на куб и октаедър]]
+[[Image:Dual Cube-Octahedron.svg|thumb|right|120px|Дуалност на куб и октаедър]]
 Тъй като са изградени от правилно разположени правилни многоъгълници, то центровете на стените им също образуват платонови тела. Така центровете на стените на куба образуват октаедър и, обратно, центровете на октаедър образуват куб. Аналогично свойство имат додекаедърът и октаедърът. При тетраедъра се получава пак тетраедър. Това свойство се описва като 'дуалност' и то е израз на [[симетрия]]та, присъща на трите различаваши се случая.