Закон за запазване на механичната енергия

Ще илюстрираме закона за запазване на механичната енергия на примера на свободно падащо тяло. Нека тяло (материална точка) с маса m се намира на височина h0 от повърхността на Земята (виж чертежа по-долу). Избираме Земята за отправно тяло. За начало на координатната система избираме точката, в която се намира тялото. Оста Х избираме да бъде ортогонална на земната повърхност и насочена надолу. Нека означим с единичния вектор по оста X. Нека пуснем тялото да пада свободно под действието на силата на земното привличане ${\bar {P}}=m{\bar {g}}$, където ${\bar {g}}=g{\bar {e}}_{x}$ е земното ускорение. За начален момент избираме момента, в който тялото започва да пада $(t_{0}=0)$. Нека означим момента на падане с $t_{1}$. Тогава координатната функция х(t), която описва положението на тялото като функция на времето при свободното падане се задава с формулата $x(t)={gt^{2} \over 2}$, където (0 < t < t1). Скоростта на движение се задава с формулата ${\bar {v}}(t)=v(t){\bar {e}}_{x}={dx \over dt}(t){\bar {e}}_{x}=gt{\bar {e}}_{x}$.

Файл:ZZME.JPG

Закон за запазване на механичната енергия

В началния момент от време t0 = 0 скоростта на тялото е ${\bar {v}}(0)$ = 0, съответно кинетичната му енергия в началния момент от време Т(0) = 0, потенциалната му енергия в началния момент от време U(0) = mgh0 и пълната механична енергия в момента $t_{0}$ = 0 Е(0) = Т(0) + U(0) = $mgh_{0}$. За произволно избран момент от време t' (0 < t' < t1) тялото има координата $x'=x(t')={gt'^{2} \over 2}$ равна на числената стойност на пътя s(t), изминат за време t' . В момента от време t' тялото се намира на височина h' = $h_{0}$ – s(t'), големината на скоростта на тялото е v(t') = gt', кинетичната му енергия $T(t')=m{v(t')^{2} \over 2}=mg{g^{2}t'^{2} \over 2}=mg{gt'^{2} \over 2}=mgs(t')$ потенциалната му енергия U(t') = mgh' = mg (h' – s(t')). Пълната механична енергия на тялото в момента от време t' е E(t') = Т(t') + U(t') = $mgh_{0}$. В момента на падане тялото има скорост с големина $v(t_{1})=gt_{1},$ съответно кинетична енергия в момента на падане е $T(t_{1})=m{v^{2}(t_{1}) \over 2}=m{g^{2}t_{1}^{2} \over 2}=mg{gt_{1}^{2} \over 2}=mgs(t_{1})=mgh_{0}$. Потенциалната енергия на тялото в момента на падане е $U(t_{1})=0.$. Пълната механична енергия на тялото в момента на падане E(t)=Т(t)+U(t)=mgh Следователно, пълната механична енергия на тялото в произволен момент от време t Е(t) = T(t) + U(t) = const, т.е. пълната механична енергия на тялото не зависи от времето. Увеличаването на кинетичната енергия води до намаляване на потенциалната и обратно. Разглеждаме тялото като намиращо се в полето на земното привличане и изолирано от всякакви други въздействия. Така на този конкретен пример проверихме валидността на закона за запазване на механичната енергия – един от основните закони на механиката: Пълната механична енергия на затворена механична система от тела, между които действат само консервативни сили остава постоянна, т.е. не се мени с времето. Ако в една затворена система освен консервативни, действат и неконсервативни сили, например сила на триене, тогава пълната механична енергия не се запазва. Ние можем да разглеждаме силата на триене като външна за механичната система. Тогава промяната на механичната енергия Е на системата за интервала от време t2 – t1 (t1 < t2) е равна на работата А, извършена от външните сили за същия интервал от време Е(t1) – Е(t2)= А.

Действието на други (немеханични) сили води до превръщане на механичната енергия в други немеханични видове енергия (например топлинна). В такъв случай е в сила по-общ закон за запазване на енергията:

Във всяка затворена физична система сумата от всички видове енергия остава постоянна, т.е. не се мени с времето.

Вижте също

• Потенциална енергия
• Кинетична енергия
• Пълна енергия