Направо към съдържанието

Производна: Разлика между версии

19 байта добавени ,  преди 7 години
м
форматиране: 11x тире, 10x нов ред (ползвайки Advisor.js)
мРедакция без резюме
м (форматиране: 11x тире, 10x нов ред (ползвайки Advisor.js))
 
==Определение==
Нека функцията ''y'' = ''f''(''x'') е дефинирана в точка ''x''<sub>0</sub> от дефиниционната си област. Нарастването на аргумента (означава се &Delta;x) в този случай се определя като x&minus;x<sub>0</sub>, а нарастването на функцията (&Delta;y) – като ''f(x)&minus;f(x<sub>0</sub>)''. Тогава, ако съществува [[граница (математика)|граница]] <math>\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}</math>, то тя се нарича '''производна''' на функцията ''f''(''x'') в точката ''x''<sub>0</sub>'''.
 
Нека функцията ''y'' = ''f''(''x'') е дефинирана в точка ''x''<sub>0</sub> от дефиниционната си област. Нарастването на аргумента (означава се &Delta;x) в този случай се определя като x&minus;x<sub>0</sub>, а нарастването на функцията (&Delta;y) — като ''f(x)&minus;f(x<sub>0</sub>)''. Тогава, ако съществува [[граница (математика)|граница]] <math>\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}</math>, то тя се нарича '''производна''' на функцията ''f''(''x'') в точката ''x''<sub>0</sub>'''.
 
Частното <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> се нарича '''диференчно частно'''.
 
==Означения при диференциране==
 
Съществуват различни начини за означаване на производните при диференциране.
 
===Означение на [[Готфрид_Лайбниц|Лайбниц]]===
 
Означението за производна представено от [[Готфрид Лайбниц]] е едно от първите. То все още се използва когато уравнението ''y''&nbsp;=&nbsp;ƒ(''x'') се разглежда като функционална зависимост между зависимите и независимите променливи. Първата производна се означава:
 
 
===Означение на [[Исак_Нютон|Нютон]]===
 
:<math>\dot{x} = \frac{dx}{dt} = x'(t)</math>, <math>\ddot{x} = x''(t)</math>
 
===Означение на [[Ойлер]]===
: <math>{D_x}^n f(x) \;</math> - – за ''n''-тапърва производна при ''n'' > 1,
 
: <math>{D_x}^2 f(x) \;</math> - – за първавтора производна, и
: <math>{D_x}^2n f(x) \;</math> - – за втора''n''-та производна, ипри ''n'' > 1
: <math>{D_x}^n f(x) \;</math> - за ''n''-та производна при ''n'' > 1
 
== Изчисляване на производни ==
 
=== Правила за диференциране ===
 
# Ако k е константа, то (ku)&prime; = ku&prime;.
# (u+v)&prime; = u&prime;+v&prime;. Доказателство: &Delta;(u+v) = u(x+&Delta;x)+v(x+&Delta;x)&minus;u(x)&minus;v(x) = (u(x+&Delta;x)&minus;u(x))+(v(x+&Delta;x)&minus;v(x)) = &Delta;u+&Delta;v.
# (u &middot; v)&prime; = u&prime; &middot; v + u &middot; v&prime;. Доказателство: &Delta;(u &middot; v) &rarr; u(x + &Delta;x) &middot; v(x + &Delta;x) - – u(x) &middot; v(x) &rarr; (u(x) + &Delta;u) &middot; (v(x) + &Delta;v) - – u(x) &middot; v(x) &rarr; u(x) &middot; v(x) + u(x) &middot; &Delta;v + v(x) &middot; &Delta;u + &Delta;u &middot; &Delta;v - – u(x) &middot; v(x) &rarr; u(x) &middot; &Delta;v + v(x) &middot; &Delta;u + &Delta;u &middot; &Delta;v. (границата е равна на u&prime; &middot; v + u &middot; v&prime;).
#<math>(h(g(x)))' = h'[g(x)] g'(x)</math>
# (uv)<sup>(n)</sup>=<math>\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}u^{(n-k)}v^{(k)}</math> – [[формула на Лайбниц]].
# (u/v)&prime; = (u&prime;v&minus;uv&prime;)/v<sup>2</sup>. Доказателство: &Delta;(u/v) = u( x + &Delta;x ) / v( x + &Delta;x ) &minus; u( x ) / v( x ) = ( u( x + &Delta;x )v( x ) &minus; u( x )v( x + &Delta;x ) ) / ( v( x )v( x + &Delta;x ) ) =
( u( x + &Delta;x )v( x ) &minus; u( x )v( x ) &minus; u( x )v( x + &Delta;x ) + u( x )v( x ) ) / ( v( x )v( x + &Delta;x) ) =
( &Delta;u( x )v( x ) - – u( x )&Delta;v( x ) ) / ( v( x )v( x + &Delta;x ) ), границата е равна на (u&prime;v&minus;uv&prime;)/v<sup>2</sup>.
 
=== Производни на някои функции ===
 
===Примерно пресмятане===
 
Производната на функцията
 
 
== Геометричен и физически смисъл на производната ==
 
=== Геометрично представяне на понятието ===
Производната на една функция в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла, който допирателната към графиката ѝ в тази точка сключва с положителната посока на абсцисната ос.
 
== Производни от по-висок ред ==
Нека ''f''(''x'') е диференцуема функция и ''f''′(''x'') е нейната производна. Производната на ''f''′(''x'') (ако съществува) се означава като ''f''′'(''x'') и се нарича '''втора производна''' на ''f''(''x''). Също така производната на втората производна (ако съществува) се нарича '''трета производна'''. За някои функции този процес продължава и те имат четвърта и т. н. - – '''производни от по-висок ред'''.
 
Функцията ''f'' може да няма производна - – например, ако не е непрекъсната. Тогава тя може да няма и втора производна. Например нека
 
:<math> f(x) = \begin{cases} x^2, & \mbox{if }x\ge 0 \\ -x^2, & \mbox{if }x \le 0\end{cases}.</math>
 
[[Интеграл]]
 
 
[[Категория:Математически анализ]]