Детерминанта

Детерминанта в алгебрата е функция, съпоставяща на квадратна матрица над комутативен пръстен с единица K елемент от пръстена - многочлен, в който всеки едночлен е произведение от по един множител от всеки ред и стълб на матрицата с определен знак в зависимост от четността на пермутацията от елементи.

Детерминантата е важна характеристика на матриците с разнообразно приложение в линейната алгебра, комплексния и функционалния анализ, аналитичната и диференциалната геометрия и др.

Начини за изчисляване

По дефиниция детерминантата на една матрица е равна на:

$\left|A\right|=\sum (-1)^{t}a_{1i}a_{2j}\ldots a_{nk}$

където t е броят на инверсиите в пермутацията (i, j, … , k).

Чрез изваждане пред скоби на даден елемент a_ij в скобите остава съответното адюнгирано количество A_ij. Съгласно теоремата на Лаплас детерминантата може да се развие по произволен ред i или по стълб j:

$\left|A\right|=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}A_{ik}=\sum _{k=1}^{n}a_{kj}A_{kj}$

Свойства

Ако стълбовете на матрицата се разглеждат като вектори от линейно пространство, то антисиметричната полилинейна форма D върху пространството M, която приема стойност единица върху базисните вектори на пространството, е детерминанта. Такова определение е коректно, защото съществува единствена такава форма.

• Ако ред (стълб) от матрицата се умножи с число, то детерминантата се умножава със същото.
• Ако се разменят местата на два реда, детерминантата мени знака си.
• Ако ред се умножи с число и се прибави към друг ред, детерминантата не се променя.