Детерминанта: Разлика между версии
м Матрица (математика); форматиране: 2x тире-числа, интервал, нов ред, тире (ползвайки Advisor) |
Редакция без резюме |
||
Ред 1: | Ред 1: | ||
'''Детерминанта''' в [[алгебра]]та е [[функция]], съпоставяща на [[Матрица (математика)|квадратна матрица]] над [[комутативност|комутативен]] [[Пръстен (алгебра)|пръстен]] с единица ''K'' елемент от пръстена – [[многочлен]], в който всеки [[едночлен]] е [[произведение]] от по един [[множител]] от всеки ред и стълб на матрицата с определен знак в зависимост от четността на [[пермутация]]та от елементи. |
'''Детерминанта''' в [[алгебра]]та е [[функция]], съпоставяща на [[Матрица (математика)|квадратна матрица]] над [[комутативност|комутативен]] [[Пръстен (алгебра)|пръстен]] с единица ''K'' елемент от пръстена – [[многочлен]], в който всеки [[едночлен]] е [[произведение (математика)|произведение]] от по един [[множител]] от всеки ред и стълб на матрицата с определен знак в зависимост от четността на [[пермутация]]та от елементи. |
||
Детерминантата е важна характеристика на матриците с разнообразно приложение в [[линейна алгебра|линейната алгебра]], [[комплексен анализ|комплексния]] и [[функционален анализ|функционалния]] анализ, [[аналитична геометрия|аналитична]]та и [[диференциална геометрия|диференциална]]та геометрия и др. |
Детерминантата е важна характеристика на матриците с разнообразно приложение в [[линейна алгебра|линейната алгебра]], [[комплексен анализ|комплексния]] и [[функционален анализ|функционалния]] анализ, [[аналитична геометрия|аналитична]]та и [[диференциална геометрия|диференциална]]та геометрия и др. |
||
Ред 10: | Ред 10: | ||
Чрез изваждане пред скоби на даден елемент ''a<sub>ij</sub>'' в скобите остава съответното [[адюнгирано количество]] ''A<sub>ij</sub>''. Съгласно [[Теорема на Лаплас|теоремата на Лаплас]] детерминантата може да се развие по произволен ред ''i'' или по стълб ''j'': |
Чрез изваждане пред скоби на даден елемент ''a<sub>ij</sub>'' в скобите остава съответното [[адюнгирано количество]] ''A<sub>ij</sub>''. Съгласно [[Теорема на Лаплас|теоремата на Лаплас]] детерминантата може да се развие по произволен ред ''i'' или по стълб ''j'': |
||
: <math>\left | A \right | = \sum_{k=1}^n a_{ik} A_{ik} = \sum_{k=1}^n a_{kj} A_{kj}</math> |
: <math>\left | A \right | = \sum_{k=1}^n a_{ik} A_{ik} = \sum_{k=1}^n a_{kj} A_{kj}</math> |
||
При матрица 2 × 2, формулата за намиране на детерминанта е: |
|||
:<math>\begin{align}|A| = \begin{vmatrix} a & b\\c & d \end{vmatrix}=ad - bc .\end{align}</math> |
|||
Ако имаме матрица ''A'' – 3 × 3, намираме детерминантата |''A''| така: |
|||
:<math>\begin{align}|A| = \begin{vmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{vmatrix} &= a\,\begin{vmatrix} e & f\\h & i \end{vmatrix} - b\,\begin{vmatrix} d & f\\g & i \end{vmatrix} + c\,\begin{vmatrix} d & e\\g & h \end{vmatrix}\\ &= aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{align}</math> |
|||
Всяка детерминанта на матрица 2 × 2 се нарича [[минор на матрица]]та. Същата процедура може да се използва, за да се намери детерминантата на матрица 4 × 4, 5 × 5 и така нататък. |
|||
== Свойства == |
== Свойства == |
||
Ред 20: | Ред 30: | ||
<references/> |
<references/> |
||
[[Категория: |
[[Категория:Линейна алгебра]] |
Версия от 12:22, 23 март 2017
Детерминанта в алгебрата е функция, съпоставяща на квадратна матрица над комутативен пръстен с единица K елемент от пръстена – многочлен, в който всеки едночлен е произведение от по един множител от всеки ред и стълб на матрицата с определен знак в зависимост от четността на пермутацията от елементи.
Детерминантата е важна характеристика на матриците с разнообразно приложение в линейната алгебра, комплексния и функционалния анализ, аналитичната и диференциалната геометрия и др.
Начини за изчисляване
По дефиниция детерминантата на една матрица е равна на:
където t е броят на инверсиите в пермутацията (i, j, … , k).
Чрез изваждане пред скоби на даден елемент aij в скобите остава съответното адюнгирано количество Aij. Съгласно теоремата на Лаплас детерминантата може да се развие по произволен ред i или по стълб j:
При матрица 2 × 2, формулата за намиране на детерминанта е:
Ако имаме матрица A – 3 × 3, намираме детерминантата |A| така:
Всяка детерминанта на матрица 2 × 2 се нарича минор на матрицата. Същата процедура може да се използва, за да се намери детерминантата на матрица 4 × 4, 5 × 5 и така нататък.
Свойства
Ако стълбовете на матрицата се разглеждат като вектори от линейно пространство, то антисиметричната полилинейна форма D върху пространството M, която приема стойност единица върху базисните вектори на пространството, е детерминанта. Такова определение е коректно, защото съществува единствена такава форма[1].
- Ако ред (стълб) от матрицата се умножи с число, то детерминантата се умножава със същото.
- Ако се разменят местата на два реда, детерминантата мени знака си.
- Ако ред се умножи с число и се прибави към друг ред, детерминантата не се променя.
Източници
- ↑ Б.Л. ван дер Варден, Алгебра, второ издание, изд. „Наука“, Москва, 1979, В 20203 – 034/053(02)-79 31 – 79; стр. 98