Триъгълно число

Първите шест триъгълни числа

Триъгълно число е общият брой еднакви елементи, които подредени образуват равностранен триъгълник, като в схемата в дясно. Триъгълното число n е сумата на точките в равностранен триъгълник със страни n точки и е равно на сумата от  първите n естествени числа. Числото 0 (нулево триъгълно число) също се приема за триъгълно число на триъгълник със страна 0 (n=0). Първите (до n=36) триъгълни числа (последователност Шаблон:OEISОЭИСШаблон:OEIS са

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...

Формула

Точната формула за триъгълно число е:

${\displaystyle }$

където ${\displaystyle }$ е биномен коефицент. Той представлява броят на неповтарящите се двойки, които могат да бъдат избрани от n + 1 елемента.

Първото уравнение може да се илюстрира с помощта на следното доказателство. За всяко триъгълно число ${\displaystyle }$ си представете полу-квадратно разположение на елементите, съответстващи на триъгълното число, като на фигурата по-долу. Копирайте тази подредба и я завъртете, създавайки правоъгълник с удвоен брой елементи, с размери ${\displaystyle }$. Триъгълно число е винаги точно половината от броя на елементите в такава фигура, или: ${\displaystyle }$. Например ${\displaystyle }$ се илюстрира по този начин:

${\displaystyle }$ (зелени плюс жълти) означава, че ${\displaystyle }$ (зелени).

За доказателство се използва и математическата индукция. 

Връзката към други фигурни числа

Триъгълните числа имат широк спектър от връзки с другите фигурни числа.

Най-просто сумата от две последователни триъгълни числа е квадратно число, със сума равна на квадрата от разликата на двете числа (следователно, разликата в двете е корен квадратен от сумата). Алгебрически,

${\displaystyle }$

Графично това се представя така:

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

Има безкрайно количество триъгълни числа които са едновременно и квадратни числа; например, 1, 36, 1225. Някои от тях могат да бъдат получени с помощта на обикновена рекурсивна формула:

${\displaystyle }$ с ${\displaystyle }$

Всички квадратни триъгълни числа се намират от рекурсията

${\displaystyle }$ с ${\displaystyle }$ и ${\displaystyle }$

Източници

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Triangular number в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите. ​ ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.​