Триъгълно число

Първите шест триъгълни числа

Триъгълно число е общият брой еднакви елементи, които подредени образуват равностранен триъгълник, като в схемата в дясно. Триъгълното число n е сумата на точките в равностранен триъгълник със страни n точки и е равно на сумата от  първите n естествени числа. Числото 0 (нулево триъгълно число) също се приема за триъгълно число на триъгълник със страна 0 (n=0). Първите (до n=36) триъгълни числа (последователност A000217 в OEIS) са

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...

Формула

Точната формула за триъгълно число е:

$T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2},$

където $\textstyle {n+1 \choose 2}$ е биномен коефицент. Той представлява броят на неповтарящите се двойки, които могат да бъдат избрани от n + 1 елемента.

Първото уравнение може да се илюстрира с помощта на следното доказателство. За всяко триъгълно число $T_{n}$ си представете полу-квадратно разположение на елементите, съответстващи на триъгълното число, като на фигурата по-долу. Копирайте тази подредба и я завъртете, създавайки правоъгълник с удвоен брой елементи, с размери $T_{n}$. Триъгълното число е винаги точно половината от броя на елементите в такава фигура, или: $T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}$. Например $T_{4}$ се илюстрира по следния начин:

$2T_{4}=4(4+1)=20$ (зелени плюс жълти) означава, че $T_{4}={\frac {4(4+1)}{2}}=10$ (зелени).

За доказателство се използва и математическата индукция.

Връзка към други фигурни числа

Триъгълните числа имат широк спектър от връзки с другите фигурни числа.

Най-просто сумата от две последователни триъгълни числа е квадратно число, със сума равна на квадрата от разликата на двете числа (следователно, разликата в двете е корен квадратен от сумата). Алгебрически,

$T_{n}+T_{n-1}=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {\left(n-1\right)^{2}}{2}}+{\frac {n-1}{2}}\right)=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n}{2}}\right)=n^{2}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}.$

Графично това се представя така:

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

Има безкрайно количество триъгълни числа които са едновременно и квадратни числа; например, 1, 36, 1225. Някои от тях могат да бъдат получени с помощта на обикновена рекурсивна формула:

$S_{n+1}=4S_{n}\left(8S_{n}+1\right)$ с $S_{1}=1.$

Всички квадратни триъгълни числа се намират от рекурсията

$S_{n}=34S_{n-1}-S_{n-2}+2$ с $S_{0}=0$ и $S_{1}=1.$

Източници

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Triangular number в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите. ​ ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.​