Детерминанта: Разлика между версии
м Премахнати редакции на 130.185.241.250 (б.), към версия на Vodenbot Етикет: Отмяна |
|||
Ред 19: | Ред 19: | ||
:<math>\begin{align}|A| = \begin{vmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{vmatrix} &= a\,\begin{vmatrix} e & f\\h & i \end{vmatrix} - b\,\begin{vmatrix} d & f\\g & i \end{vmatrix} + c\,\begin{vmatrix} d & e\\g & h \end{vmatrix}\\ &= aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{align}</math> |
:<math>\begin{align}|A| = \begin{vmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{vmatrix} &= a\,\begin{vmatrix} e & f\\h & i \end{vmatrix} - b\,\begin{vmatrix} d & f\\g & i \end{vmatrix} + c\,\begin{vmatrix} d & e\\g & h \end{vmatrix}\\ &= aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{align}</math> |
||
Всяка детерминанта на |
Всяка детерминанта на матрица 2 × 2 се нарича [[минор на матрица]]та. Същата процедура може да се използва, за да се намери детерминантата на матрица 4 × 4, 5 × 5 и така нататък. |
||
== Свойства == |
== Свойства == |
Версия от 07:20, 25 февруари 2019
Детерминанта в алгебрата е функция, съпоставяща на квадратна матрица над комутативен пръстен с единица K елемент от пръстена – многочлен, в който всеки едночлен е произведение от по един множител от всеки ред и стълб на матрицата с определен знак в зависимост от четността на пермутацията от елементи.
Детерминантата е важна характеристика на матриците с разнообразно приложение в линейната алгебра, комплексния и функционалния анализ, аналитичната и диференциалната геометрия и др.
Начини за изчисляване
По дефиниция детерминантата на една матрица е равна на:
където t е броят на инверсиите в пермутацията (i, j, … , k).
Чрез изваждане пред скоби на даден елемент aij в скобите остава съответното адюнгирано количество Aij. Съгласно теоремата на Лаплас детерминантата може да се развие по произволен ред i или по стълб j:
При матрица 2 × 2, формулата за намиране на детерминанта е:
Ако имаме матрица A – 3 × 3, намираме детерминантата |A| така:
Всяка детерминанта на матрица 2 × 2 се нарича минор на матрицата. Същата процедура може да се използва, за да се намери детерминантата на матрица 4 × 4, 5 × 5 и така нататък.
Свойства
Ако стълбовете на матрицата се разглеждат като вектори от линейно пространство, то антисиметричната полилинейна форма D върху пространството M, която приема стойност единица върху базисните вектори на пространството, е детерминанта. Такова определение е коректно, защото съществува единствена такава форма[1].
- Ако ред (стълб) от матрицата се умножи с число, то детерминантата се умножава със същото.
- Ако се разменят местата на два реда, детерминантата мени знака си.
- Ако ред се умножи с число и се прибави към друг ред, детерминантата не се променя.
Източници
- ↑ Б.Л. ван дер Варден, Алгебра, второ издание, изд. „Наука“, Москва, 1979, В 20203 – 034/053(02)-79 31 – 79; стр. 98