Неперово число: Разлика между версии
мРедакция без резюме |
Vodnokon4e (беседа | приноси) Редакция без резюме |
||
Ред 4: | Ред 4: | ||
== История == |
== История == |
||
Числото <math>e</math> се нарича Неперово число в чест на шотландския учен [[Джон Непер]] |
Числото <math>e</math> се нарича Неперово число в чест на шотландския учен [[Джон Непер]] – автор на съчинението „Описание на удивителните таблици на логаритмите“ ([[1614]] г.). Това не е съвсем правилно, тъй като в него [[логаритъм]]ът на <math>x</math> е равен на |
||
:<math>10^7\cdot\,\log_{1/e}\left(\frac{x}{10^7}\right) \,\!</math> |
:<math>10^7\cdot\,\log_{1/e}\left(\frac{x}{10^7}\right) \,\!</math> |
||
Ред 48: | Ред 48: | ||
:<math>e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{8 + \ldots}}}}}}}}}}}</math> |
:<math>e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{8 + \ldots}}}}}}}}}}}</math> |
||
== |
== Приложения == |
||
=== Сложна лихва === |
=== Сложна лихва === |
||
[[Якоб Бернули]] открил числото <math>e</math> през 1685 г. при изучаване на [[Сложна лихва|сложната лихва]].<ref name="OConnor">{{cite web|url = |
[[Якоб Бернули]] открил числото <math>e</math> през 1685 г. при изучаване на [[Сложна лихва|сложната лихва]].<ref name="OConnor">{{cite web|url =http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html|title = The number ''e''|publisher = MacTutor History of Mathematics|first1 = J J|last1 = O'Connor|first2 = E F|last2 = Robertson}}</ref> |
||
:Нека имаме 1 лев в банкова сметка с годишна лихва 100%. Ако сметката се олихвява веднъж годишно, то след изтичане на годината ще имаме 2 лева. Колко лева ще имаме в края на годината, ако лихвата се начислява на по-къси интервали (и се натрупва към сметката)? |
:Нека имаме 1 лев в банкова сметка с годишна лихва 100%. Ако сметката се олихвява веднъж годишно, то след изтичане на годината ще имаме 2 лева. Колко лева ще имаме в края на годината, ако лихвата се начислява на по-къси интервали (и се натрупва към сметката)? |
||
Ако лихвата се начислява веднъж на 6 месеца от годината (по 50% на шестмесечие), то в края на годината ще получим '''2,25 лв.''' Ако лихвата се начислява ежемесечно (по 100%: 12 = 8,33% на месец), то в края на годината ще имаме '''2,61 лв'''. Ако лихвата се начислява ежедневно (по 100%: 365 = 0,274% на ден), то в края на годината ще имаме '''2,71 лв.''' Колкото по-често се олихвява сметката, толкова по-голяма сума се получава. Обаче крайният резултат не расте неограничено. Бернули забелязал, че резултатът не надхвърля определена граница, а именно '''2,72 лв.''', към която стойност се приближава паричната сума в края на годината, когато сметката се олихвява все по-често и по-често. Именно тази гранична стойност '''2,718281828459045... лв.''' е '''Неперовото число''.''''' Наречено е в чест на Джон Непер – изобретателя на логаритмите. |
Ако лихвата се начислява веднъж на 6 месеца от годината (по 50% на шестмесечие), то в края на годината ще получим '''2,25 лв.''' Ако лихвата се начислява ежемесечно (по 100%: 12 = 8,33% на месец), то в края на годината ще имаме '''2,61 лв'''. Ако лихвата се начислява ежедневно (по 100%: 365 = 0,274% на ден), то в края на годината ще имаме '''2,71 лв.''' Колкото по-често се олихвява сметката, толкова по-голяма сума се получава. Обаче крайният резултат не расте неограничено. Бернули забелязал, че резултатът не надхвърля определена граница, а именно '''2,72 лв.''', към която стойност се приближава паричната сума в края на годината, когато сметката се олихвява все по-често и по-често. Именно тази гранична стойност '''2,718281828459045... лв.''' е '''Неперовото число''.''''' Наречено е в чест на Джон Непер – изобретателя на логаритмите. |
||
Ред 97: | Ред 96: | ||
[[Леонард Ойлер]] |
[[Леонард Ойлер]] |
||
== Източници == |
|||
<references /> |
|||
== Външни препратки == |
== Външни препратки == |
Версия от 04:00, 28 март 2019
Неперово число се нарича ирационалното число = 2,718281828459045...
То е една от най-важните константи в математиката. Възниква естествено при описанието на различни процеси в природните и обществените науки. Числото е основата на естествените (натуралните) логаритми.
История
Числото се нарича Неперово число в чест на шотландския учен Джон Непер – автор на съчинението „Описание на удивителните таблици на логаритмите“ (1614 г.). Това не е съвсем правилно, тъй като в него логаритъмът на е равен на
Числото негласно присъства в приложение към превода на английски език на споменатата работа на Непер. В тази работа има само таблица на естествените логаритми, а за числото не е дадено определение. Предполага се, че автор на приложението е английският математик Уилям Оутред. Самото число е получено за първи път от Якоб Бернули при опит да изчисли границата
- .
Първото известно използване на тази константа (с друго обозначение) се среща в писмата на Лайбниц до Хюйгенс (около 1691 г.). Буквата първи използва Ойлер през 1727 г., а първата публикация с тази буква е неговата „Механика, или наука за движението, изложена аналитично“. Поради това числото понякога се нарича „число на Ойлер“. Не е известно защо е избрана точно тази буква. Най-вероятната причина е, че с нея започва думата „експонента“ (показател).
Дефиниция
Числото може да бъде дефинирано по два равносилни начина:
- като граница на числова редица: ;
- като сума на безкраен числов ред: .
Свойства
През 1737 г. Ойлер е доказал, че Неперовото число е ирационално, а през 1879 г. Ермит е установил, че то е трансцендентно.
Връзката между Неперовото число и се вижда от формулата на Ойлер:
В математическия анализ особено значение има експоненциалната функция , която съвпада със своята производна:
Още една връзка между числата и се получава при пресмятане на интеграла на Поасон:
- .
- За всяко комплексно число са изпълнени следните равенства:
- .
Числото се разлага в безкрайна верижна дроб по следния начин:
т.е.
Приложения
Сложна лихва
Якоб Бернули открил числото през 1685 г. при изучаване на сложната лихва.[1]
- Нека имаме 1 лев в банкова сметка с годишна лихва 100%. Ако сметката се олихвява веднъж годишно, то след изтичане на годината ще имаме 2 лева. Колко лева ще имаме в края на годината, ако лихвата се начислява на по-къси интервали (и се натрупва към сметката)?
Ако лихвата се начислява веднъж на 6 месеца от годината (по 50% на шестмесечие), то в края на годината ще получим 2,25 лв. Ако лихвата се начислява ежемесечно (по 100%: 12 = 8,33% на месец), то в края на годината ще имаме 2,61 лв. Ако лихвата се начислява ежедневно (по 100%: 365 = 0,274% на ден), то в края на годината ще имаме 2,71 лв. Колкото по-често се олихвява сметката, толкова по-голяма сума се получава. Обаче крайният резултат не расте неограничено. Бернули забелязал, че резултатът не надхвърля определена граница, а именно 2,72 лв., към която стойност се приближава паричната сума в края на годината, когато сметката се олихвява все по-често и по-често. Именно тази гранична стойност 2,718281828459045... лв. е Неперовото число. Наречено е в чест на Джон Непер – изобретателя на логаритмите.
Други представяния на числото e
Доказателство за ирационалността на числото e
Да допуснем противното: че е рационално. Тогава , където е цяло, а е естествено число. Понеже не е цяло число, то .
Следователно
Умножаваме по и получаваме
Прехвърляме от другата страна:
Всички събираеми в дясната страна са цели числа, следователно
- също е цяло (положително) число, затова
- .
Обаче
, тоест
, което е противоречие.
Първите 200 цифри на числото e
-
- .
Вижте също
Източници
- ↑ The number e // MacTutor History of Mathematics.
Външни препратки
Доказателство за транцендентността на числото (planetmath.org, англ.)