Елипсоид на Якоби: Разлика между версии

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Интерактивен преглед на историята
← По-стара редакцияПо-нова редакция →
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
ВизуаленУикитекст
редактиране
частична кор на превода
Ред 1: Ред 1:
{{обработка|оправяне на превода}}
{{обработка|проверка на превода}}
[[Файл:Haumea_Rotation.gif|дясно|мини| [[Хаумея (планета джудже)|Хаумея]], планета джудже с триосна елипсоидна форма. ]]
[[Файл:Haumea_Rotation.gif|дясно|мини| [[Хаумея (планета джудже)|Хаумея]], планета джудже с триосна елипсоидна форма. ]]
'''Елипсоидът на Якоби''' е равновесна форма, която самогравитиращо течно тяло с равномерна плътност и въртящо се с постоянна [[ъглова скорост]], може да заема. Този [[елипсоид]] има три различни по дължина оси и носи името на [[Германци|немския]] [[математик]] [[Карл Густав Якоб Якоби]]<ref>Jacobi, C. G. (1834). Ueber die figur des gleichgewichts. Annalen der Physik, 109(8 – 16), 229 – 233.</ref>
'''Елипсоидът на Якоби''' е равновесна форма, която може да заеме самогравитиращо течно тяло с равномерна плътност и въртящо се с постоянна [[ъглова скорост]]. Този [[елипсоид]] има три различни по дължина оси и носи името на [[Германци|немския]] [[математик]] [[Карл Густав Якоб Якоби]]<ref>Jacobi, C. G. (1834). Ueber die figur des gleichgewichts. Annalen der Physik, 109(8 – 16), 229 – 233.</ref>


== История ==
== История <ref>Chandrasekhar, S. (1969). ''Ellipsoidal figures of equilibrium'' (Vol. 10, p. 253). New Haven: Yale University Press.</ref> <ref>Chandrasekhar, S. (1967). Ellipsoidal figures of equilibrium—an historical account. Communications on Pure and Applied Mathematics, 20(2), 251 – 265.</ref> ==
Преди Якоби, определеният от [[Маклорен]] през 1742 г. [[сфероид]] е бил считан за единствения тип [[елипсоид]], който да е равновесен. [[Жозеф Луи Лагранж|Лагранж]] през 1811 г. <ref>Lagrange, J. L. (1811). ''Mécanique Analytique'' sect. IV 2 vol.</ref> разглежда възможността триосният елипсоид да е в равновесие, но заключава, че двете екваториални оси трябва да бъдат равни, което е именно решението със сфероид на Маклорен. Якоби установил, че доказваното от Лагранж е само достатъчно, но не е необходимо. Той отбеляза: „Човек би направил сериозна грешка, ако предположи, че ротационните сфероиди са единствените допустими фигури на равновесие дори при ограничителното допускане за повърхности от втора степен“ и добавя, че "Всъщност простото разглеждане показва, че елипсоидите с три неравни оси също така добре могат да са равновесни форми; може да се приеме елипса с произволна форма за екваториалното сечение и да се определят третата ос (която е най-малката) и ъгловата скорост на въртене, така че елипсоидът да е фигура на равновесие. " <ref>Dirichlet, G. L. (1856). Gedächtnisrede auf Carl Gustav Jacob Jacobi. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 52, 193 – 217.</ref>
Преди Якоби, определеният от [[Маклорен]] през 1742 г. [[сфероид]] е бил считан за единствения тип [[елипсоид]], който да е равновесен<ref>Chandrasekhar, S. (1969). ''Ellipsoidal figures of equilibrium'' (Vol. 10, p. 253). New Haven: Yale University Press.</ref> <ref>Chandrasekhar, S. (1967). Ellipsoidal figures of equilibrium—an historical account. Communications on Pure and Applied Mathematics, 20(2), 251 – 265.</ref>. През 1811 г. [[Жозеф Луи Лагранж]] <ref>Lagrange, J. L. (1811). ''Mécanique Analytique'' sect. IV 2 vol.</ref> разглежда възможността триосният елипсоид да е в равновесие, но заключава, че двете му екваториални оси трябва да са равни, което е именно решението със сфероид на Маклорен. Якоби установява, че доказаното от Лагранж е само достатъчно, но не и необходимо условие. Той отбелязва: „Човек би направил сериозна грешка, ако предположи, че ротационните сфероиди са единствените допустими фигури в равновесие дори при ограничаващото допускане за повърхности от втора степен“ и добавя: "Всъщност простото разглеждане показва, че елипсоидите с три неравни оси могат също да са равновесни; може да се приеме елипса с произволна форма на екваториалното сечение и да се изчислят третата най-малка ос и ъгловата скорост на въртене така, че елипсоидът да бъде в равновесие. " <ref>Dirichlet, G. L. (1856). Gedächtnisrede auf Carl Gustav Jacob Jacobi. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 52, 193 – 217.</ref>


== Формула на Якоби ==
== Формула на Якоби ==
[[Файл:Jacobi-ellipsoid-dimensions-2.svg|дясно|мини| Екваториалните ( ''a'', ''b'' ) и полярните ( ''c'' ) главни полуоси на елипсоида на Якоби и сфероида на Маклорен, като функция на нормализирания ъглов импулс, при условие, че ''abc'' = 1 (т.е. за постоянен обем от 4π/3). <br /> Пунктирните линии са за сфероида на Маклорен в обхвата, в който той има динамична, но не и секуларна стабилност – той ще се превърне в елипсоида на Якоби, при условие че може да разсее енергията чрез вискозен състав. ]]
[[Файл:Jacobi-ellipsoid-dimensions-2.svg|дясно|мини| Екваториалните ( ''a'', ''b'' ) и полярните ( ''c'' ) главни полуоси на елипсоида на Якоби и сфероида на Маклорен, като функция на нормализирания ъглов импулс, при условие, че ''abc'' = 1 (т.е. за постоянен [[обем]] от 4π/3). <br /> Пунктирните линии са за сфероида на Маклорен в обхвата, в който той има динамична, но не и секуларна стабилност – той ще се превърне в елипсоида на Якоби, при условие че може да разсее енергията чрез вискозен състав. ]]
За елипсоид с полу-главни оси ъгловата скорост относно ос се дава с
За елипсоид с полу-главни оси <math>a, \ b, \ c</math>a, b, c ъгловата скорост <math>\Omega</math> относно оста <math>z</math> се дава с израза
:<math>\frac{\Omega^2}{\pi G\rho} = 2 abc \int_0^\infty \frac{udu}{(a^2+u)(b^2+u)\Delta}\ , \quad \Delta^2 = (a^2+u)(b^2+u)(c^2+u),</math>
:<math>\frac{\Omega^2}{\pi G\rho} = 2 abc \int_0^\infty \frac{udu}{(a^2+u)(b^2+u)\Delta}\ , \quad \Delta^2 = (a^2+u)(b^2+u)(c^2+u),</math>
където <math>\rho</math> е плътността и е [[Гравитационна константа|гравитационната константа]], предмет на условието
където <math>\rho</math> е плътността и <math>G</math> е [[Гравитационна константа|гравитационната константа]], като се удовлетворява условието
:<math>a^2 b^2 \int_0^\infty \frac{du}{(a^2+u)(b^2+u)\Delta} = c^2\int_0^\infty \frac{du}{(c^2+u)\Delta}.</math>
:<math>a^2 b^2 \int_0^\infty \frac{du}{(a^2+u)(b^2+u)\Delta} = c^2\int_0^\infty \frac{du}{(c^2+u)\Delta}.</math>
За фиксирани стойности на и, горното условие има решение за такава
За фиксирани стойности на <math>a</math> и <math>b</math>, горното условие има решение за c:
:<math>\frac{1}{c^2}>\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}.</math>
:<math>\frac{1}{c^2}>\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}.</math>
Интегралите могат да бъдат изразени като непълни елиптични интеграли . <ref>Darwin, G. H. (1886). On Jacobi's figure of equilibrium for a rotating mass of fluid. Proceedings of the Royal Society of London, 41(246 – 250), 319 – 336.</ref> От гледна точка на симетричната форма на Карлсон елиптичният интеграл формулата за ъгловата скорост става
Интегралите могат да бъдат изразени като непълни елиптични интеграли. <ref>Darwin, G. H. (1886). On Jacobi's figure of equilibrium for a rotating mass of fluid. Proceedings of the Royal Society of London, 41(246 – 250), 319 – 336.</ref> Ако се използва симетричната форма на Карлсон R<sub>J</sub> за елиптичния интеграл, формулата за ъгловата скорост става
:<math>\frac{\Omega^{2}}{\pi G \rho} = \frac{4 a b c}{3 (a^{2} - b^{2})} (a^{2} R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},a^{2}) - b^{2} R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},b^{2}))</math>
:<math>\frac{\Omega^{2}}{\pi G \rho} = \frac{4 a b c}{3 (a^{2} - b^{2})} (a^{2} R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},a^{2}) - b^{2} R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},b^{2}))</math>
и условието за относителния размер на полу-главните оси е
и условието за относителния размер на полу-главните оси <math>a, \ b, \ c</math> е
:<math>\frac{2}{3} \frac{a^{2} b^{2}}{b^{2} - a^{2}} (R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},a^{2}) - R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},b^{2})) = \frac{2}{3} c^{2} R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},c^{2}).</math>
:<math>\frac{2}{3} \frac{a^{2} b^{2}}{b^{2} - a^{2}} (R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},a^{2}) - R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},b^{2})) = \frac{2}{3} c^{2} R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},c^{2}).</math>
Ъгловият импулс на елипсоида на Якоби се дава от
Моментът на импулса <math>L</math> на елипсоида на Якоби се дава от израза
:<math>\frac{L}{\sqrt{GM^3\bar{a}}} = \frac{\sqrt 3}{10}\frac{a^2+b^2}{\bar{a}^2}\sqrt{\frac{\Omega^2}{\pi G\rho}} \ , \quad \bar{a}=(abc)^{1/3},</math>
:<math>\frac{L}{\sqrt{GM^3\bar{a}}} = \frac{\sqrt 3}{10}\frac{a^2+b^2}{\bar{a}^2}\sqrt{\frac{\Omega^2}{\pi G\rho}} \ , \quad \bar{a}=(abc)^{1/3},</math>
където <math>M</math> е ''средният радиус'', а <math>\bar{a}</math> радиусът на сфера със същия обем като елипсоида.
където <math>M</math> е [[Маса|маса]]та на елипсоида а <math>\bar{a}</math> е ''средният радиус'', радиусът на сфера със същия обем като елипсоида.
<!-- прегледано дотук -->


== Връзка с елипсоида на Дедекинд ==
== Връзка с елипсоида на Дедекинд ==
Ред 34: Ред 35:


== Вижте също ==
== Вижте също ==
* Маклорен сфероид
* Елипсоид на Риман
* Елипсоид на Рош
* Елипсоидален проблем на Дирихле
* [[сфероид]]
* [[сфероид]]
* [[елипсоид]]
* [[елипсоид]]

Версия от 08:53, 22 май 2019

Хаумея, планета джудже с триосна елипсоидна форма.

Елипсоидът на Якоби е равновесна форма, която може да заеме самогравитиращо течно тяло с равномерна плътност и въртящо се с постоянна ъглова скорост. Този елипсоид има три различни по дължина оси и носи името на немския математик Карл Густав Якоб Якоби[1]

История

Преди Якоби, определеният от Маклорен през 1742 г. сфероид е бил считан за единствения тип елипсоид, който да е равновесен[2] [3]. През 1811 г. Жозеф Луи Лагранж [4] разглежда възможността триосният елипсоид да е в равновесие, но заключава, че двете му екваториални оси трябва да са равни, което е именно решението със сфероид на Маклорен. Якоби установява, че доказаното от Лагранж е само достатъчно, но не и необходимо условие. Той отбелязва: „Човек би направил сериозна грешка, ако предположи, че ротационните сфероиди са единствените допустими фигури в равновесие дори при ограничаващото допускане за повърхности от втора степен“ и добавя: "Всъщност простото разглеждане показва, че елипсоидите с три неравни оси могат също да са равновесни; може да се приеме елипса с произволна форма на екваториалното сечение и да се изчислят третата най-малка ос и ъгловата скорост на въртене така, че елипсоидът да бъде в равновесие. " [5]

Формула на Якоби

Екваториалните ( a, b ) и полярните ( c ) главни полуоси на елипсоида на Якоби и сфероида на Маклорен, като функция на нормализирания ъглов импулс, при условие, че abc = 1 (т.е. за постоянен обем от 4π/3).
Пунктирните линии са за сфероида на Маклорен в обхвата, в който той има динамична, но не и секуларна стабилност – той ще се превърне в елипсоида на Якоби, при условие че може да разсее енергията чрез вискозен състав.

За елипсоид с полу-главни оси a, b, c ъгловата скорост относно оста се дава с израза

където е плътността и е гравитационната константа, като се удовлетворява условието

За фиксирани стойности на и , горното условие има решение за c:

Интегралите могат да бъдат изразени като непълни елиптични интеграли. [6] Ако се използва симетричната форма на Карлсон RJ за елиптичния интеграл, формулата за ъгловата скорост става

и условието за относителния размер на полу-главните оси е

Моментът на импулса на елипсоида на Якоби се дава от израза

където е масата на елипсоида а е средният радиус, радиусът на сфера със същия обем като елипсоида.

Връзка с елипсоида на Дедекинд

Елипсоидите на Якоби и Дедекинд са фигури, в състояние на равновесие на силите, за тяло от въртяща се хомогенна само-гравитационна течност. Въпреки това, докато елипсоидът на Якоби се върти телесно, без вътрешен поток на флуида в въртящата се рамка, елипсоидът Дедекинд поддържа фиксирана ориентация, като съставната течност циркулира в нея. Това е пряка последица от теоремата на Дедекинд.

За всеки елипсоид на Якоби съществува елипсоид на Дедекинд със същите полу-главни оси, и същата маса и с поле за скорост на потока от [7], където е завихрянето, което е еднакво в целия сфероид на елипсоида на Якоби и завихряне на съответния елипсоид на Дедекинд са свързани с [7]

Това означава, че всяка частица от флуида на елипсоида Дедекинд описва подобна елиптична верига в същия период, в който сфероидът на Якоби извършва една ротация.

В специален случай на елипсоидите на Якоби и Дедекинд (и сфероидът на Маклорен) стават едно и също; телесното въртене и кръговият поток се равняват на едно и също нещо. В такъв случай, както винаги е вярно за твърдо въртящо се тяло.

В общия случай елипсоидите на Якоби и Дедекинд имат еднаква енергия [8], но ъгловият импулс на сфероида на Якоби е по-голям с коефициент.[8]

Вижте също

Източници

  1. ↑ Jacobi, C. G. (1834). Ueber die figur des gleichgewichts. Annalen der Physik, 109(8 – 16), 229 – 233.
  2. ↑ Chandrasekhar, S. (1969). Ellipsoidal figures of equilibrium (Vol. 10, p. 253). New Haven: Yale University Press.
  3. ↑ Chandrasekhar, S. (1967). Ellipsoidal figures of equilibrium—an historical account. Communications on Pure and Applied Mathematics, 20(2), 251 – 265.
  4. ↑ Lagrange, J. L. (1811). Mécanique Analytique sect. IV 2 vol.
  5. ↑ Dirichlet, G. L. (1856). Gedächtnisrede auf Carl Gustav Jacob Jacobi. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 52, 193 – 217.
  6. ↑ Darwin, G. H. (1886). On Jacobi's figure of equilibrium for a rotating mass of fluid. Proceedings of the Royal Society of London, 41(246 – 250), 319 – 336.
  7. ↑ а б Chandrasekhar, Subrahmanyan. The Equilibrium and the Stability of the Dedekind Ellipsoids // Astrophysical Journal 141. 1965. DOI:10.1086/148195. с. 1043 – 1055.
  8. ↑ а б Bardeen, James M. Rapidly Rotating Stars, Disks, and Black Holes // Black Holes. CRC Press, 1973. ISBN 9780677156101. с. 267 – 268.
  Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Jacobi ellipsoid в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите. ​

ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.​

Взето от „https://bg.wikipedia.org/w/index.php?title=Елипсоид_на_Якоби&oldid=9484377“.