Правилен многоъгълник: Разлика между версии
Ред 138: | Ред 138: | ||
Съществуват неограничен брой построими правилни многоъгълници, като са известни само 31 с [[Четност|нечетен]] брой страни. Изчерпателното решение на задачата за построение на правилен ''n''-ъгълник зависи от намирането на доказателство за броя на простите [[Число на Ферма|числа на Ферма]]. |
Съществуват неограничен брой построими правилни многоъгълници, като са известни само 31 с [[Четност|нечетен]] брой страни. Изчерпателното решение на задачата за построение на правилен ''n''-ъгълник зависи от намирането на доказателство за броя на простите [[Число на Ферма|числа на Ферма]]. |
||
Задачата е идентична с разделянето на окръжността на ''n'' равни части. [[Евклид]] е разгледал построяването на правилен многоъгълник в IV книга на своите „Елементи“ и решава задачата за ''n'' = 3, 4, 5, 6, 15. <ref>Евклид, ''Елементи'', кн.4., София: Наука и Изкуство, 1972.</ref>Той посочва първия критерий за построимост на правилен многоъгълник: aко вече е построен правилен <math>2^{m-1}</math>-ъгълник, то правилен <math>2^m</math>-ъгълник (при ''m'' > 1) се построява чрез раздполовяване на съответните дъги. Така от две полуокръжности се построява квадрат, после правилен осмоъгълник, правилен шестнадесетоъгълник и т.н. Вторият критерий, посочен от Евклид, е: Ако е известно как да се построят правилни многоъгълници с ''r'' и ''s'' страни и ако тези числа са [[взаимно прости числа|взаимно прости]], то може да се построи и правилен многоъгълник с ''r × s'' страни. Простите числа, които решението е известно са 3 и 5, така че древните математици са можели да построяват правилни многоъгълници с <math>2^m \cdot {p_1}^{k_1} \cdot {p_2}^{k_2}</math> страни, където ''m'' е цяло неотрицателно число, ''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub> са числата 3 и 5,''k''<sub>1</sub>, ''k''<sub>2</sub> лриемат стойности 0 или 1, т.е. броят на страните ще е 3, 5, 6, 10, 12, 15, ... |
Задачата е идентична с разделянето на окръжността на ''n'' равни части. [[Евклид]] е разгледал построяването на правилен многоъгълник в IV книга на своите „Елементи“ и решава задачата за ''n'' = 3, 4, 5, 6, 15. <ref>Евклид, ''Елементи'', кн.4., София: Наука и Изкуство, 1972.</ref>Той посочва първия критерий за построимост на правилен многоъгълник: aко вече е построен правилен <math>2^{m-1}</math>-ъгълник, то правилен <math>2^m</math>-ъгълник (при ''m'' > 1) се построява чрез раздполовяване на съответните дъги. Така от две полуокръжности се построява квадрат, после правилен осмоъгълник, правилен шестнадесетоъгълник и т.н. Вторият критерий, посочен от Евклид, е: Ако е известно как да се построят правилни многоъгълници с ''r'' и ''s'' страни и ако тези числа са [[взаимно прости числа|взаимно прости]], то може да се построи и правилен многоъгълник с ''r × s'' страни. Простите числа, освен 2, за които решението е известно са 3 и 5, така че древните математици са можели да построяват правилни многоъгълници с <math>2^m \cdot {p_1}^{k_1} \cdot {p_2}^{k_2}</math> страни, където ''m'' е цяло неотрицателно число, ''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub> са числата 3 и 5,''k''<sub>1</sub>, ''k''<sub>2</sub> лриемат стойности 0 или 1, т.е. броят на страните ще е 3, 5, 6, 10, 12, 15, ... |
||
През Средновековието математиката не постига напредък в тази област. Едва през 1796 г. [[Гаус]] доказва, че ако броят на страните на правилния многоъгълник е [[просто число на Ферма]] (известни са само пет: 3, 5, 17, 257 и 65 537), той може да бъде [[Построения с линийка и пергел|построен с линийка и пергел]]. Оттук следва, че правилен многоъгълник може да бъде построен, ако броят на страните му е равен на |
През Средновековието математиката не постига напредък в тази област. Едва през 1796 г. [[Гаус]] доказва, че ако броят на страните на правилния многоъгълник е [[просто число на Ферма]] (известни са само пет: 3, 5, 17, 257 и 65 537), той може да бъде [[Построения с линийка и пергел|построен с линийка и пергел]]. Оттук следва, че правилен многоъгълник може да бъде построен, ако броят на страните му е равен на |
Версия от 07:55, 13 август 2019
За информацията в тази статия или раздел не са посочени източници. Въпросната информация може да е непълна, неточна или изцяло невярна. Имайте предвид, че това може да стане причина за изтриването на цялата статия или раздел. |
Правилен многоъгълник се нарича прост многоъгълник (многоъгълник, който не се самопресича), който е равностранен и равноъгълен (с равни по дължина страни и по големина ъгли). Най-простите правилни многоъгълници са равностранният триъгълник и квадратът, като случайте за (сравнително) малък брой страни, примерно правилен петоъгълник, шестоъгълник, седмоъгълник, осмоъгълник или деветоъгълник са добре изучени. Двуъгълник (двустранен правилен многоъгълник) е изроден – двулинейна отсечка. За всеки брой на страните n, правилните n-ъгълници са еднакви.
Свойства
Вътрешен ъгъл α на правилен n-ъгълник се изчислява:
- в градуси –
- в радиани –
Всички върхове на правилен многоъгълник лежат на една окръжност, т.е. те са конциклични точки – всеки правилен многоъгълник може да се впише в дадена описваща окръжност.
Правилният n-ъгълник може да бъде построен с линийка и пергел тогава и само тогава, когато n е произведение на степен на 2 и/или едно или няколко различни прости числа на Ферма.
За n > 2 броят на диагоналите e , т.е. 0, 2, 5, 9, … Те разделят многоъгълника на 1, 4, 11, 24, … части.
Лице
Лицето на правилен n-ъгълник е половината от обиколката, умножена по дължината на апотемата (отсечката, спусната от центъра на многоъгълника към една страна, перпендикулярно на нея):
или
- ,
където b е дължината на страната, k на апотемата.
За b = 1 имаме
със следните стойности:
2 | 0 | 0,000 |
3 | 0,433 | |
4 | 1 | 1,000 |
5 | 1,720 | |
6 | 2,598 | |
7 | 3,634 | |
8 | 4,828 | |
9 | 6,182 | |
10 | 7,694 | |
11 | 9,366 | |
12 | 11,196 | |
13 | 13,186 | |
14 | 15,335 | |
15 | 17,642 | |
16 | 20,109 | |
17 | 22,735 | |
18 | 25,521 | |
19 | 28,465 | |
20 | 31,569 | |
100 | 795,513 | |
1000 | 79 577,210 | |
10000 | 7 957 746,893 |
Разликата между лицата на многоъгълниците и това на окръжностите със същата обиколка са равни на 0,26 (приблизително), а за n<8 – малко повече (разликите намаляват, клонейки с нарастването на n към π/12).
Симетрия
Групата на симетрия на един правилен n-ъгълник е диедрална група Dn (от ред 2n): D2, D3, D4,... Тя се състои от ротациите в Cn (има ротационна симетрия от n ред), плюс рефлекционна симетрия по n оси, които минават през центъра. Ако n е четно, то половината от тези оси минават през два срещуположни върха, а другата половина – през средата на срещулежащата страна.
Дължина на страната, периметър и лице
Разглеждаме правилни многоъгълници със страна а, периметър Р и лице S. С r е означен радиусът на описаната около многоъгълника окръжност. Изложени са формули, изразяващи a, P и S чрез r, които са особено удобни при решаване на геометрични задачи.
многоъгълник | a | P | S |
триъгълник | |||
квадрат | |||
петоъгълник | |||
шестоъгълник | |||
седмоъгълник | |||
осмоъгълник | |||
деветоъгълник |
За правилен десетоъгълник:
За правилен дванадесетоъгълник:
За правилен n-ъгълник:
Построение на правилен многоъгълник
Съществуват неограничен брой построими правилни многоъгълници, като са известни само 31 с нечетен брой страни. Изчерпателното решение на задачата за построение на правилен n-ъгълник зависи от намирането на доказателство за броя на простите числа на Ферма.
Задачата е идентична с разделянето на окръжността на n равни части. Евклид е разгледал построяването на правилен многоъгълник в IV книга на своите „Елементи“ и решава задачата за n = 3, 4, 5, 6, 15. [1]Той посочва първия критерий за построимост на правилен многоъгълник: aко вече е построен правилен -ъгълник, то правилен -ъгълник (при m > 1) се построява чрез раздполовяване на съответните дъги. Така от две полуокръжности се построява квадрат, после правилен осмоъгълник, правилен шестнадесетоъгълник и т.н. Вторият критерий, посочен от Евклид, е: Ако е известно как да се построят правилни многоъгълници с r и s страни и ако тези числа са взаимно прости, то може да се построи и правилен многоъгълник с r × s страни. Простите числа, освен 2, за които решението е известно са 3 и 5, така че древните математици са можели да построяват правилни многоъгълници с страни, където m е цяло неотрицателно число, p1, p2 са числата 3 и 5,k1, k2 лриемат стойности 0 или 1, т.е. броят на страните ще е 3, 5, 6, 10, 12, 15, ...
През Средновековието математиката не постига напредък в тази област. Едва през 1796 г. Гаус доказва, че ако броят на страните на правилния многоъгълник е просто число на Ферма (известни са само пет: 3, 5, 17, 257 и 65 537), той може да бъде построен с линийка и пергел. Оттук следва, че правилен многоъгълник може да бъде построен, ако броят на страните му е равен на
където k0 е цяло неотрицателно число, k1, k2,...,ks приемат стойности 0 или 1, а pj са прости числа на Ферма. През 1836 г. Пиер-Лоран Ванцел доказва, че това условие не е само достатъчно, а и необходимо, като това става известно като теоремата на Гаус-Ванцел. Тъй като възможните произведения от пет различни множителя са 31, с оглед известните числа на Ферма, това е и броят на построимите многоъгълници с нечетен брой страни.
Успешният край на тези изследвания е постигнат със следните построения: на правилния седемнадесетоъгълник – от Йохан Ерхингер през 1825 г., на правилния 257-ъгълник – от Фридрих Юлиус Ришело през 1832 г. и на правилния 65537-ъгълник – от Густав Хермес през 1894 г.
Източници
- ↑ Евклид, Елементи, кн.4., София: Наука и Изкуство, 1972.
Вижте също
|