Средно квадратично

В математиката средноквадратична или ефективна стойност (на английски: Root mean square, RMS или rms), е статистическа мярка за големината на променлива величина. Терминът е особен полезен, когато величините са положителни и отрицателни, например при синусоидално разпределение на стойностите. Терминът се използва в различни области на науката. В частност, чрез него се определя основното понятие в теорията на вероятностите и математическата статистика – дисперсията (квадратният корен от която се нарича средноквадратично отклонение). Тясно свързан с това понятие е методът на най-малките квадрати, който има общонаучно значение. В частност, терминът широко се използва в електротехниката; напр. при дефиниране на ефективната стойност в областта на усилвателите на сигнали.

Определение

Средноквадратична стойност на сбор от величини (или непрекъсната функция) е квадратен корен от средно аритметичното на квадратите на оригиналните стойности (или квадрата на функцията, която определя непрекъснатата форма).

В случай на сбор от $n$ стойности $\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}$, средноквадратичната стойност се дава чрез:

$x_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}} \over n}}.$

Съответната формула за непрекъсната функция (или форма) $f(t)$, определена в интервала $T_{1}\leq t\leq T_{2}$, е:

$f_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2}\,dt}}},$

средноквадратичната стойност за функция в целия обхват на време е:

$f_{\mathrm {rms} }=\lim _{T\rightarrow \infty }{\sqrt {{1 \over {2T}}{\int _{-T}^{T}{[f(t)]}^{2}\,dt}}}.$

Когато функцията е периодична, средноквадратичната стойност за произволен обхват от време е равна на средноквадратичната стойност само за един пълен период на функцията. Средноквадратичната стойност на непрекъсната функция или сигнал може да бъде приближена чрез изчисляване на средноквадратичната стойност на серии от дискретни стойности на функцията, взети през еднакъв интервал от време.

В електротехниката

Ефективна стойност на тока

Ефективната стойност $I$ на променлив ток във времето с период $T$ е равна на интензитета на постоянния ток, излъчващ същата енергия $E$ като $i(t)$, преминавайки през съпротивление $R$ за период $T$.

$E=U\cdot I\cdot T=R\cdot I^{2}\cdot T=R\cdot \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}i^{2}(t)\cdot \mathrm {d} t$

Тогава ефективната стойност се изразява като квадратен корен от средно аритметичното на квадрата на изчисления интензитет за период $T$.

$I={\sqrt {{\frac {1}{T}}\cdot \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}i^{2}(t)\cdot \mathrm {d} t}}$

Формули за прости променливи сигнали

Сигнал	Форма на вълната	I
синусоидален		${\frac {I_{\mathrm {max} }}{\sqrt {2}}}$
триъгълен		${\frac {I_{\mathrm {max} }}{\sqrt {3}}}$
квадратен и симетричен		$I_{\mathrm {max} }$

Ефективна стойност на напрежението

Това е стойността на постоянното напрежение, което излъчва същата енергия като променливото напрежение u(t), ако се приложи на изводите на дадено съпротивление.

Математически се изразява чрез:

$U={\sqrt {{\frac {1}{T}}\cdot \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}u^{2}(t)\cdot \mathrm {d} t}}$

Формули за прости променливи сигнали

Сигнал	Форма на вълната	U
синусоидален		${\frac {U_{\mathrm {max} }}{\sqrt {2}}}$
триъгълен		${\frac {U_{\mathrm {max} }}{\sqrt {3}}}$
квадратен и симетричен		$U_{\mathrm {max} }$

Източници

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Root mean square“ и страницата „Valeur efficace“ в Уикипедия на английски и френски език. Оригиналните текстове, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за творби създадени преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналните страници тук и тук, за да видите списъка на тeхните съавтори.