Статистическа механика

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Серия статии на тема

Статистическа физика

Gasfas.png

Статистическата механика, също понякога наричана и статистическа физика, е приложението на математическата теория на вероятностите към класическата и квантовата механика.

Статистическата механика описва взаимодействията между голям брой частици (най-често от порядъка на числото на Авогадро) и свърза свойствата на елементарните частици с тези на макроскопичните обекти и свойства на материалите, както се наблюдават във всекидневния живот. Познатата ни термодинамика намира своята обосновка в рамките на статистическата физика. Главното предимство на статистическата механика пред термодинамиката е способността на статистическата механика да обясни свойствата на веществата на базата на теорията за взаимодействията между съставляващите ги частици.

Централно място и в двете теории заема идеята за ентропия, но в статистическата механика тя е функция от броя на възможните микросъстояния, докато в термодинамиката е емпирично изведена величина.

Основен принцип на статистическата механика[редактиране | edit source]

Основния принцип на статистическата механика гласи:

Дадена изолирана система в равновесие може да бъде намерена във всяко едно от възможните си микросъстояния с еднаква вероятност

Т.е. когато дадена изолирана система се намира в равновесие, тя може да е във всяко едно от възможните за нея микросъстояния, като няма физическа причина, която да привилегирова дадено микросъстояние, т.е. ако означим общия брой възможни микросъстояния с Ω, вероятността системата да е в кое да е от тях е ρ=1/Ω.

Като следствие от този принцип може да се посочи, че термодинамичното (макро-) състояние на системата е това, което е резултат от най-голям брой микросъстояния.

Частична обосновка за този постулат може да се намери в Теоремата на Лиувил, която гласи, че ако плътността на възможните състояния във фазовото пространство е равномерна в дадент момент, то тя остава такава с времето. Това позволява да се дефинира функцията информация (в рамките на теорията на информацията):

I = \sum_i \rho_i \ln\rho_i = \langle  \ln\rho \rangle, където ρ е вероятността системата да се намира в дадено микросъстояние, а с \langle \sdot \rangle се обозначава средната стойност.

Лесно може да се пресметне, че когато всички ρi са равни помежду си, I е в минимум, което може да се интерпретира, че когато системата е в равновесие, информацията за нея е минимална. На практика, в теорията на информацията по-често се използва функцията -I, която понякога се нарича „липса на информация“ и е еквивалентна на ентропията в статистическата механика и термодинамиката.

Микроканонично разпределение[редактиране | edit source]

Микроканоничното множество се отнася за затворена система, за каквато важи и втория принцип на термодинамиката. Ентропията на такава система може само да нараства, а когато ентропията е в максимум, термодинамичната система е в равновесие. Енергията на затворена система е константа — E, а за системата са достъпни само тези микросъстояния, в които енергията на системата би била равна на E. Нека обозначим с Ω(E) тези микросъстояния, които са достъпни за система с енергия E. Тогава ентропията на системата се изразява с:

S=k_B \ln\Omega, където S е ентропията, а kB - константата на Болцман.

Канонично разпределение[редактиране | edit source]

С идеята за канонично разпределение може да се изведе вероятността P_i \ дадена макроскопична система да е в термично равновесие, при положение, че се намира в произволно кое да е микросъстояние с енергия E_i \ . Тази вероятност се изчислява според разпределението на Болцман:

P_i = {e^{-\beta E_i}\over{\sum_j^{j_{max}}e^{-\beta E_j}}}
с \beta={1\over{kT}},

Самото използване на температурата  T \ като физична величина е възможно само при термично равновесие на разглежданата система с околната среда. Сборът от вероятностите на отделните микросъстояния трябва да дава 1 (условие за нормировка), което определя стойността на статистическата сума в знаменателя:

Z = \sum_j^{j_{max}} e^{-\beta E_j}

където E_i \ е енергията на i \ тото микросъстояние на системата. Статистическата сума е мярка за позволените за дадена система микросъстояния при дадена температура.

Така, вероятността дадена система, при температура T \ да се намира в микросъстояние с енергия  E_i \ е:

P_i = \frac{e^{-\beta E_i}}{Z}

За такава система (в термично равновесие) можем да изразим следните величини като функция от статистическата сума:

Свободна енергия на Хелмхолц: F = - {\ln Z\over \beta}
Вътрешна енергия: U = -\left( \frac{\partial\ln Z}{\partial\beta} \right)_{N,V}
Налягане: P = -\left({\partial F\over \partial V}\right)_{N,T}= {1\over \beta} \left( \frac{\partial \ln Z}{\partial V} \right)_{N,T}
Ентропия: S = k (\ln Z + \beta U)\,
Свободна енергия на Гибс: G = F+PV=-{\ln Z\over \beta} + {V\over \beta} \left( \frac{\partial \ln Z}{\partial V}\right)_{N,T}
Енталпия: H = U + PV\,
Специфичен топлинен капацитет при постоянен обем: C_V = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_{N,V}
Специфичен топлинен капацитет при постоянно налягане: C_P = \left( \frac{\partial H}{\partial T} \right)_{N,P}
Химичен потенциал: \mu_i = -{1\over \beta} \left( \frac{\partial \ln Z}{\partial N_i} \right)_{T,V,N}

Голямо канонично разпределение[редактиране | edit source]

Ако разглежданата система не е затворена, броят частици не е постоянен с времето, трябва да разглеждаме химични потенциали, а вместо каноничното разпределение трябва да се използва голямото канонично разпределение:

\Xi(V,T,\mu) = \sum_i \exp\left(\beta \left[\sum_{j=1}^n \mu_j N_{ij}-E_i\right ]\right)

Където N_{ij} е броят на частиците от j-тия вид в i-тото микросъстояние. Понякога, към тази функция могат да се добавят различни величини, които са първи интеграли, които спокойно могат да бъдат разглеждани като термодинамични (и химични) потенциали. В повечето системи, които се изучават от физиката на кондензираната материя, са нерелативистични, така че масата се запазва. Повечето системи във физиката на кондензираната материя са с постоянен брой частици, и масата (в нерелативистичния смисъл на думата) е просто сборът на масите на отделните мастици. ()m = \sum_i N_i, където Ni е броят частици от i-тия вид (всеки вид частици се характеризира с дадена плътност). Масата е обратно пропорционална на плътността, а спрегната на плътността променлива е налягането.

Величини, които могат да се дефинират като производни на статистическата сума на голямото канонично разпределение:

Голям термодинамичен потенциал: \Phi_{G}  = - {\ln \Xi\over \beta}
Вътрешна енергия: U = -\left( \frac{\partial\ln \Xi}{\partial\beta} \right)_{\mu}+\sum_i{\mu_i\over\beta}\left({\partial \ln \Xi\over \partial \mu_i}\right )_{\beta}
Брой частици: N_i={1\over\beta}\left({\partial \ln \Xi\over \partial \mu_i}\right)_\beta
Ентропия: S = k (\ln \Xi + \beta U- \beta \sum_i \mu_i N_i)\,
Свободна енергия на Хелмхолц: F = G+\sum_i \mu_i N_i=-{\ln \Xi\over \beta} +\sum_i{\mu_i\over \beta} \left( \frac{\partial \ln \Xi}{\partial \mu_i}\right)_{\beta}

Източници[редактиране | edit source]

Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Statistical mechanics“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.  
Портал Портал Физика съдържа още много статии