Степенуване (математика)

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Jump to navigation Jump to search

Степенуването е съкратен запис на произведение на еднакви множители.

Математическо определение[редактиране | редактиране на кода]

Произведението от n на брой равни множители a, където n е естествено число, се записва като an и се нарича степенуване на основа a на степен n.
Целият този процес се нарича повдигане на степен или стeпенуване. Изразът се чете пет на трета (степен) или пет на степен три. Първите две степени, на втора и на трета, се наричат още на квадрат и на куб. Така може да се прочете като пет на квадрат.

Когато работим с числа обикновено ги опростяваме: използваме 27 вместо, но когато работим с променливи използваме вместо .

Следствия[редактиране | редактиране на кода]

Число повдигнато на степен 1, си остава същото ( ).

Число повдигнато на степен 0 е равно на 1 ( ).

Число повдигнато на степен -1 е равно на реципрочното му ( ).

При повдигане на произволна степен резултата винаги е различен от 0.

Правила[редактиране | редактиране на кода]

При степенуването може да се използват следните правила, за да се опростят математически изрази включващи степенуване.

За да се опрости израза, трябва да заменим с това, което той означава. На трета означава да умножим три пъти, на четвърта - да умножим четири пъти. Използвайки това може да се разшири израза и след това да се опрости.


Следователно е равно на.

  • Първото правило при степенуването:

Умножение на степенни изрази с еднаква база може да се представи като база със степенен показател равен на сумата от степенните показатели както в израза:

Нe може да се прилага това правило при изрази с различни бази. Например изразът не може да се опрости, защото - и не е възможно комбинирането.

  • Второто правилото при степенуването:

Използвайки същата логика може да се замести израза с неговото значение - "на четвърта" означава да се умножи четири пъти .

.

Отново резултатът е равен на

В това се заключава правилото, че степенен израз повдигнат на степен може да се замени с израз, при който базата е повдигната на степен равна на произведението от стeпeнните показатели както в израза.

.
  • Трето правило при степенуването:

При степенуване на произведение в скоби (Xy)3, то степента се прилага върху всеки множител от скобите:

.

И още един пример:

.

Погрешно ще бъде прилагането на това правило ако в скобите е записана сума или разлика, например:

не може да стане, защото резултатът е грешен. Правилното изчисление е .

По-добре е да се запише според това, че "на квадрат" означава сумата или разликата да се умножи веднъж сама по себе си, така че .

Това е част от т.нар. формули за съкратено умножение.

Отрицателни степенни показатели[редактиране | редактиране на кода]

Отрицателният степенен показател показва, че базата е сложена от другата страна спрямо дробната черта и за да стане с положителна стойност изразът трябва да се премести от другата страна. Например в израза (хикс на минус втора) x е поставен в числителя вместо в знаменателя, което е равно на .

Още няколко примера превръщащи отрицателната степен в положително число:







Забележете, че множителят 2 не се мести заедно с променливата x.



За разлика от предния пример, тук скобите показват, че отрицателната степен трябва да се приложи и върху числото 3 в скобите, както и върху променливата.



Същото може да се реши и така:



Тъй като степените означават умножение, а при за умножението редът на множителите е без значение, често има повече от един начин за валидно опростяване на даден израз. Начинът е без значение стига стъпките да са правилни и да водят до един и същи отговор.

Дробни (рационални) степени[редактиране | редактиране на кода]

Обратното действие на степенуване е коренуване. Еднаквите стойности на корен и степенен показател се анулират един друг и резултата не се променя. Например:




Освен тази има и още една зависимост (която между другото прави изчисления подобни на горното много по-лесни): Корен квадратен или корен втори от дадено число може да се представи като степенуване с реципрочна стойност.


или



Съответно корен 3 и 4 и т.н. стават:



Така горните примери можем да ги запишем по следния начин:




Ако се използва калкулатор дробния степенен показател трябва да се сложи в скоби — напр. трябва да стана защото иначе калкулатора ще приеме че е въведено

Дробните степени позволяват по-голяма гъвкавост (което може да се види при много изчисления) и е по-лесно да се запише отколкото еквивалентния формат, като позволява изчисления, които иначе са невъзможни. Например:


Когато видите дробно число като степенен показател, помнете че винаги горното (числителя) е степенния показател, а долното (знаменателя) е корена. Например:


Някои степени под формата на десетична дроб, могат да се пренапишат така, че да станат обикновена дроб:



Като цяло обаче, при десетичната степенна дроб (нещо различно от обикновена дроб или цяло число), трябва да го оставим така както е, или ако е необходимо да го изчислим с калкулатор. Например, , където pi е приблизително равно на 3.14159, не може да бъде опростено.

Външни препратки[редактиране | редактиране на кода]