Степенуване (математика)

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

Степенуването е съкратен запис на произведение на еднакви множители.

Математическо определение[редактиране | редактиране на кода]

Произведението от n на брой равни множители a, където n е естествено число, се записва като an и се нарича степенуване на основа a на степен n. Целият този процес се нарича повдигане на степен или стeпенуване. Изразът се чете пет на трета (степен) или пет на степен три. Първите две степени, на втора и на трета, се наричат още на квадрат и на куб. Така може да се прочете като пет на квадрат.

Когато работим с числа обикновено ги опростяваме: използваме 27 вместо, но когато работим с променливи използваме вместо .

Следствия[редактиране | редактиране на кода]

Число, повдигнато на степен 1, си остава същото ().

Число, повдигнато на степен 0 е равно на 1 ().

Число, повдигнато на степен -1 е равно на реципрочното му ( при ).

Число, повдигнато на степен 1/2 е равно на неговия корен квадратен ().

При повдигане на число, различно от 0, на произволна степен резултатът винаги е различен от 0.

Правила[редактиране | редактиране на кода]

При степенуването може да се използват следните правила, за да се опростят математически изрази включващи степенуване.

За да се опрости израза, трябва да заменим с това, което той означава. На трета означава да умножим три пъти, на четвъртада умножим четири пъти. Използвайки това може да се разшири израза и след това да се опрости.

Следователно е равно на .

  • Първото правило при степенуването:

Умножение на степенни изрази с еднаква база може да се представи като база със степенен показател равен на сумата от степенните показатели, както в израза:

Нe може да се прилага това правило при изрази с различни бази. Например изразът не може да се опрости, защото – и не е възможно комбинирането.

  • Второто правилото при степенуването:

Използвайки същата логика може да се замести израза с неговото значение - "на четвърта" означава да се умножи четири пъти .

.

Отново резултатът е равен на

В това се заключава правилото, че степенен израз повдигнат на степен може да се замени с израз, при който базата е повдигната на степен равна на произведението от стeпeнните показатели както в израза.

.
  • Трето правило при степенуването:

При степенуване на произведение в скоби (хy)3, то степента се прилага върху всеки множител от скобите:

.

И още един пример:

.

Погрешно ще бъде прилагането на това правило, ако в скобите е записана сума или разлика, например:

не може да стане, защото резултатът е грешен. Правилното изчисление е .

По-добре е да се запише според това, че "на квадрат" означава сумата или разликата да се умножи веднъж сама по себе си, така че . Това е част от т.нар. формули за съкратено умножение.

Отрицателни степенни показатели[редактиране | редактиране на кода]

Отрицателният степенен показател показва, че базата е сложена от другата страна спрямо дробната черта и за да стане с положителна стойност изразът трябва да се премести от другата страна. Например в израза (хикс на минус втора) x е поставен в числителя вместо в знаменателя, което е равно на .

Още няколко примера, превръщащи отрицателната степен в положително число:




Забележете, че множителят 2 не се мести заедно с променливата x.

За разлика от предния пример, тук скобите показват, че отрицателната степен трябва да се приложи и върху числото 3 в скобите, както и върху променливата.

Същото може да се реши и така:

Тъй като степените означават умножение, а при умножение редът на множителите е без значение, често има повече от един начин за валидно опростяване на даден израз. Начинът е без значение стига стъпките да са правилни и да водят до един и същи отговор.

Дробни (рационални) степени[редактиране | редактиране на кода]

Дробно число, използвано за степенен показател се ползва и при обратното действие на степенуване – коренуване, като числителят е степенният показател, а знаменателят е коренът, например:

Еднаквите стойности на корен и степенен показател се анулират един друг и резултатът не се променя. Например:

Освен тази има и още една зависимост (която между другото прави изчисления подобни на горното много по-лесни): корен квадратен или корен втори от дадено число може да се представи като степенуване с реципрочна стойност.


или

Съответно корен 3 и 4 и т.н. стават:

Така горните примери можем да запишем по следния начин:

Ако се използва калкулатор, дробният степенен показател трябва да се сложи в скоби, напр. трябва да стане , защото иначе калкулаторът ще приеме, че е въведено .

Дробните степени позволяват по-голяма гъвкавост (което може да се види при много изчисления) и е по-лесно да се запише отколкото еквивалентния формат, като позволява изчисления, които иначе са невъзможни. Например:

Някои степени под формата на десетична дроб, могат да се пренапишат така, че да станат обикновена дроб:

Като цяло обаче при десетичната степенна дроб (нещо различно от обикновена дроб или цяло число), трябва да го оставим така както е или ако е необходимо да го изчислим с калкулатор. Например 3π, където π е приблизително равно на 3,14159, не може да бъде опростено.

Външни препратки[редактиране | редактиране на кода]