Супремум-норма

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Супремум-нормата е понятие от функционалният анализ. Тя се използва за нормиране на пространства от ограничени функции. Във векторното пространство на ограничените функции

изобразяващи непразно множество в нормираното пространство супремум-нормата се дефинира чрез

.[1]

По-рядко използвано наименование е норма на Чебишев.

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

За точка от страните на квадрата е изпълнено .

Пространството на всички (ограничени и неограничени) функции не може да бъде нормирано с помощта на супремум-нормата. За него обаче може да се дефинира топология такава, че топологията на неговото подпространство да съвпада с индуцираната от супремум-нормата топология.

Ако е компактно метрично пространство, то пространството на непрекъснатите функции е подпространство на и може да бъде нормирано чрез максимум-нормата:[2]

,

която в частност съвпада със супремум-нормата. понякога се използва и за означаване на супремум-нормата. Че пространството може да бъде нормирано чрез максимум-нормата, следва от обобщението на теоремата на Вайерщрас гласящо, че непрекъснатите образи на компактни пространства са компактни.[3] Нормираното пространство е банахово.[2]

Функцията

е метрика в пространството на всички ограничени функции (и очевидно на всички негови подпространства) с дадена дефиниционна област. Редицата { fn : n = 1, 2, 3, ... } клони равномерно към функцията f тогава и само тогава, когато

Примери[редактиране | редактиране на кода]

Следващите три нормирани чрез супремум-нормата векторни пространства от редици са банахови.[4]

  • Пространсвото на клонящите към 0 реално- или комлекснозначни редици: (Тук е или .)
  • Пространсвото на сходящите редици:
  • Пространсвото на ограничените редици:

Последното пространство има връзка със пространствата на сумируемите редици:

нормирани чрез

за . В сила е

[5]

За обобщаване на този резултат за интегруеми функции е необходимо въвеждането на понятието съществена супремум-норма[6].

Пространството на функциите с непрекъсната първа производна и дефиниционна област затворения интервал нормирано чрез супремум-нормата не е банахово, но пространството на функциите с непрекъсната -та производна нормирано чрез

е банахово.[7]

Виж още[редактиране | редактиране на кода]

Литература[редактиране | редактиране на кода]

Бележки[редактиране | редактиране на кода]

  1. Alt, 2006, стр. 37
  2. а б Dobrowski, 2006, стр. 31-32
  3. Dobrowski, 2006, стр. 14
  4. Werner, 2005, стр. 8-9
  5. Werner, 2005, стр. 37
  6. На англ. essential supremum norm
  7. Werner, 2005, стр. 6-7