Супремум-норма

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Супремум-нормата е понятие от функционалният анализ. Тя се използва за нормиране на пространства от ограничени функции. Във векторното пространство \ell^\infty(M, Y) на ограничените функции

f:M\to Y

изобразяващи непразно множество M в нормираното пространство (Y, \|\cdot\|_Y) супремум-нормата се дефинира чрез

\|f\|_{\ell^\infty}:=\textrm{sup}_{x\in M}|f(x)|.[1]

По-рядко използвано наименование е норма на Чебишев.

Свойства[редактиране | edit source]

За точка от страните на квадрата е изпълнено \|x\|_\infty = 1.

Пространството на всички (ограничени и неограничени) функции f:M\!^\toY не може да бъде нормирано с помощта на супремум-нормата. За него обаче може да се дефинира топология такава, че топологията на неговото подпространство \ell^\infty(M, Y) да съвпада с индуцираната от супремум-нормата топология.

Ако M е компактно метрично пространство, то пространството C(M) на непрекъснатите функции f:M\!^\toY е подпространство на \ell^\infty(M, Y) и може да бъде нормирано чрез максимум-нормата:[2]

\|f\|_\infty:=\textrm{max}_{x\in M}|f(x)|,

която в частност съвпада със супремум-нормата. \|\cdot\|_\infty понякога се използва и за означаване на супремум-нормата. Че пространството C(M) може да бъде нормирано чрез максимум-нормата, следва от обобщението на теоремата на Вайерщрас гласящо, че непрекъснатите образи на компактни пространства са компактни.[3] Нормираното пространство (C(M),\|\cdot\|_\infty) е банахово.[2]

Функцията

d(f,g)=\|f-g\|_\infty

е метрика в пространството на всички ограничени функции (и очевидно на всички негови подпространства) с дадена дефиниционна област. Редицата { fn : n = 1, 2, 3, ... } клони равномерно към функцията f тогава и само тогава, когато

\lim_{n\rightarrow\infty}\|f_n-f\|_\infty=0.\,

Примери[редактиране | edit source]

Следващите три нормирани чрез супремум-нормата векторни пространства от редици са банахови.[4]

  • Пространсвото на клонящите към 0 реално- или комлекснозначни редици: c_0=\{(t_n):t_n\in\mathbb{K},\ \textrm{lim}_{n\to\infty}t_n=0\} (Тук \mathbb{K} е \mathbb{R} или \mathbb{C}.)
  • Пространсвото на сходящите редици: c=\{(t_n):t_n\in\mathbb{K},\ \exist t(\textrm{lim}_{n\to\infty}t_n=t)\}
  • Пространсвото на ограничените редици: \ell^\infty(\mathbb{N})=\{(t_n):t_n\in\mathbb{K},\ \exist t\forall n(|t_n|<t)\}

Последното пространство има връзка със пространствата на сумируемите редици:

\ell^p=\left\{(t_n):t_n\in\mathbb{K},\ \sum_{n=1}^\infty|t_n|^p<\infty\right\}

нормирани чрез

\|x\|_{\ell^p}=\left(\sum_{n=1}^\infty|t_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}

за 1\leq p < \infty. В сила е

\forall x\in\ell^1(\mathbb{N})(\textrm{lim}_{p\to\infty}\|x\|_{\ell^p}=\|x\|_{\ell^\infty})[5]

За обобщаване на този резултат за интегруеми функции е необходимо въвеждането на понятието съществена супремум-норма[6].

Пространството C^1([a,b]) на функциите с непрекъсната първа производна и дефиниционна област затворения интервал [a,b] нормирано чрез супремум-нормата не е банахово, но пространството на функциите с непрекъсната r-та производна нормирано чрез

\|f\|=\sum_{i=0}^r\left\|\frac{\mathrm d^i f}{\mathrm d x^i}\right\|_{\ell^\infty}

е банахово.[7]

Виж още[редактиране | edit source]

Литература[редактиране | edit source]

Бележки[редактиране | edit source]

  1. Alt, 2006, стр. 37
  2. а б Dobrowski, 2006, стр. 31-32
  3. Dobrowski, 2006, стр. 14
  4. Werner, 2005, стр. 8-9
  5. Werner, 2005, стр. 37
  6. На англ. essential supremum norm
  7. Werner, 2005, стр. 6-7