Таблица на производни

Тази статия дава първите производни на някои математически функции в табличен вид. Тя е обобщение на правилата за диференциране, т.е. правилата за изчисляване на производната на функция. Намирането на производна е основна операция при математическия анализ. Тези формули са достатъчни за диференцирането на по-сложни функции.

Основни правила за диференциране

Освен ако не е посочено друго, всички функции са функции на реални числа (${\textstyle \mathbb {R} }$), които връщат реални стойности, въпреки че, по-общо казано, формулите по-долу се прилагат, където са добре дефинирани, включително случая на комплексни числа (${\textstyle \mathbb {C} }$).

$\left({cf}\right)'=cf'$

$\left({f\pm g}\right)'=f'\pm g'$

$\left({fg}\right)'=f'g+fg'$ (правило Лайбниц)

$\left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}},\qquad g\neq 0$

$(f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\qquad f>0$

$(f[g(x)])'=f'[g(x)]\cdot g'(x)$ – правило за диференциране на сложни функции

$f'=(\ln f)'f,\qquad f>0$

$(f^{c})'=c\left(f^{c-1}\right)f'$,

Тук $f$ и $g$ са диференцируеми функции от реални числа и $c$ е реално число.

Производни на елементарни функции

$(ax^{n})'=nax^{n-1},\quad n\in \mathbb {N}$

$x'=1$

$C'=0$

$(e^{x})'=e^{x},\quad x\neq 0$

$(a^{x})'=a^{x}ln(a),\quad a>0,\,x\neq 0$

$(\ln x)'={\frac {1}{x}},\quad x>0$

$(\log _{a}x)'={\frac {1}{x.\ln(a)}},\quad x>0$

Производни на тригонометрични функции

В лявата колона са показани първите производни на тригонометричните функции синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс, а в дясната – производните на съответните обратни тригонометрични функции $[f^{-1}(x)]$ аркуссинус, аркускосинус, аркустангенс, аркускотангенс, аркуссеканс и аркускосеканс.

$(\sin x)'=\cos x\,$	$(\sin ^{-1}x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,$
$(\cos x)'=-\sin x\,$	$(\cos ^{-1}x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,$
$(\operatorname {tg} \ x)'={1 \over \cos ^{2}x}=\sec ^{2}x=1+\operatorname {tg} ^{2}x\,$	$(\operatorname {tg} ^{-1}x)'={1 \over 1+x^{2}}\,$
$(\operatorname {cotg} x)'={-{1 \over \sin ^{2}x}}=-\csc ^{2}x\,$	$(\operatorname {cotg} ^{-1}x)'=-{1 \over 1+x^{2}}\,$
$(\sec x)'=\sec x\operatorname {tg} x\,$	$(\sec ^{-1}x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,$
$(\csc x)'=-\csc x\operatorname {cotg} x\,$	$(\csc ^{-1}x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,$

Производни на хиперболични функции

В лявата колона са показани първите производни на хиперболичните функции (хиперболични синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс), а в дясната – производните на съответните обратни хиперболични функции (хиперболични аркус-функции).

${\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$
${\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$
${\frac {d}{dx}}\tanh x={\operatorname {sech} ^{2}x}=1-\tanh ^{2}x$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x={\frac {1}{1-x^{2}}}$
${\frac {d}{dx}}\coth x=-\operatorname {csch} ^{2}x=1-\coth ^{2}x$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x={\frac {1}{1-x^{2}}}$
${\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x=-\operatorname {csch} {x}\coth {x}$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}$
${\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x=-\operatorname {sech} {x}\tanh {x}$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

Производни на специални функции

От производните на специални функции най-често използвани са производните на гама- и бета- функциите и дзета-функцията на Риман.

Гама-функция

$$\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt$$ $${\begin{aligned}\Gamma '(x)&=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt\\&=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left[\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right]-{\dfrac {1}{x}}\right)\\&=\Gamma (x)\psi (x),\end{aligned}}$$

където ${\textstyle \psi (x)}$ е дигама-функцията, изразена чрез израза в скоби вдясно от ${\textstyle \Gamma (x)}$ в по-горния ред.

Бета-функция

${\frac {\partial }{\partial x}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)}}\right)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (x)-\psi (x+y){\big )},$

където ψ(x) е дигама-функция.

Дзета-функция на Риман

$$\zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}$$ $${\begin{aligned}\zeta '(x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \\&=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\end{aligned}}$$

Източници

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата List_of_differentiation_identities в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите. ​ ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.​