Телеграфни уравнения

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Телеграфните уравнения са двойка линейни диференциални уравнения, които описват напрежението и тока на електропреносна линия във времето и по дължината на линията (пространството). Уравненията са съставени от Оливър Хевисайд, който разработва и модела на преносната линия. Теорията е приложима за високочестотните (вълноводни) линии (като телеграфни и радиочестотни линии), но също е важна и при проектиране на високоволтовите електропроводи за пренасяне на електроенергия. Моделът демонстрира разпространението и отражението на електромагнитни вълни в линията и появата на определени вълнови структури по дължината.

Хомогенна линия[редактиране | редактиране на кода]

Фиг.1 - Заместваща схема на елемент от електропроводна линия dx

За хомогенна електропроводна линия телеграфните уравнения имат следния вид:


Ще се разгледат процесите свързани с единичен хомогенен проводник провеждащ електрически ток и имащ електрически потенциал спрямо земята. Поради омичното съпровтивление на проводника по протежението, на който тече променлив електрически ток, възниква пад на напрежение. Освен това електрическият ток е свързан с променливо магнитно поле, което от своя страна индуцира в проводника електродвижещо напрежение. Поради тези причини напрежението по протежение на проводника не е постоянно. При високи напрежения съответно високи честоти не може да се пренебрегнат, както токът на отместване в диелектрика (токът на електрическата индукция), така и токът дължащ се на макар и малката електрическа проводимост на диелектрика (несъвършена изолация, омични загуби в диелектрика). Откъдето и токът по протежение на линията променя своята стойност. За определяне на изменението на напрежението и тока по дължината на проводника се изхожда от малък елемент от него с дължина dx и се сумират въздействията на всички такива елементи. При това се приема, че съпротивлението, индуктивността, капацитета и проводимостта на проводника са равномерно разпределени по дължината му. На единица дължина се пада винаги едно и също съпротивление , една и съща индуктивност , един и същи капацитет и една и съща проводимост . Това е трудно изпълнимо на практика, особено при електропреносните линии, поради използването на изолатори в различни точки по дължината на линията, на които се окачват проводниците и поради провеса на последните и неговото изменение с дължината. Проводник, който изпълнява горните допускания със задоволителна за практиката точност се приема за хомогенен. Върху проводников елемент на един хомогенен проводник с дължина , се падат съпротивление , индуктивност , капацитет и проводимост показани на фиг. 1.

За представената по-горе схема от законите на Кирхоф следва:

След разкриване на скобите, разделяне на и пренебрегване на членовете от висок ред се получава:


При по-нататъшно диференциране на горните две уравнение (първото по , второто по ) се получава:

След замествания в горните уранения се получават телеграфните уранения:


Уравнения при синусоидални напрежение и ток. Решение[редактиране | редактиране на кода]

Когато напрежението и тока на линията са синусоидални функции във времето, то те могат да се представят с комплексни моментни стойности:

,

където подчертаването изразява комплексен вид (може и с точка над величината), , a кръговата честота на синусоидалните величини. Две от ураненията представени по-горе се записват в комплексен вид:

След диференциране по се получава:

или

Величината се нарича константа на разпространение. Решението на уравнението е:

За тока се получава:

или

Въвежда се величината:

Така за тока се получава:

Величината има размерност на съпротивление и се нарича вълново съпротивление на линията.

Нека в началото на проводника (x=0) напрежението и тока са съотетно и , тогава за тока и напрежението в произволна точка x по дължината на линията се получава:

Относно и решенията са:

Ако са дадени напрежението и тока на края на линията, съответно и , то уравненията са:

Видове електропреносни линии[редактиране | редактиране на кода]

1) Линия без загуби

Вълнов импеданс

Константа на разпространение (равна на фазовата константа )

Скорост на разпространение на електромагнитната вълна по линията

2) Линия без деформации

Към този клас могат да се определят електропроводните линии за пренасяне на електроенергия. При тези линии се приема, че импеданса и константата на затихване на линията (параметрите на линията) не зависят от честотата, т.е. електромагнитната вълна се разпространява без изкривявания (деформации).

За такава линия е в сила следната зависимост:

Вълнов импеданс

Константа на разпространение

Скорост на разпространение на електромагнитната вълна по линията

Обща форма на телеграфното уравнение[редактиране | редактиране на кода]

Телеграфното уравнение (независимо от разглежданите величини) е частно диференциално уравнение (при хиперболично, при елиптично и при параболично) и има следния най-общ вид:

.

В тази си форма то представя редица явления от физиката описвани с подобни уравнения (по специални случаи на телграфното уравнение: Вълново уравнение, Дифузно уравнение, Уравнение на Хелмхолц, Потенциално уравнение) и се използва най-общо в много задачи от физиката и инженерни изчисления.

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  • Eugen Philippow, Karl Walter Bonfig, Wolf-Jürgen Becker. Grundlagen der Elektrotechnik. Verlag Technik Berlin, 2000.
  • Nathan Ida. Engineering Electromagnetics. Springer, 2004.