Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици)

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Емблема за пояснителна страница Вижте пояснителната страница за други значения на Теорема на Болцано-Вайерщрас.

Теоремата на Болцано - Вайерщрас (за безкрайните редици) гласи, че: Всяка безкрайна и ограничена редица притежава сходяща подредица.

Доказателство[редактиране | редактиране на кода]

Нека и Ако има точка на сгъстяване , то очевидно .

Да допуснем, че няма точка на сгъстяване. Тогава околност на , такава че съдържа само краен брой членове на .

Тогава обединението е покритие на интервала . От теоремата на Хайне - Борел следва, че има крайно подпокритие , състоящо се от краен брой интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на . Но има безбройно много членове в интервала , което е противоречие и следователно има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.

Тази теорема е доказана от чешкия математик Болцано през 1817 г., а по-късно независимо от него е получена от Вайерщрас. Тя е една от основните теореми в математическия анализ.