Теорема на Ньотер

Еми Ньотер (1882 – 1935) е влиятелна математичка, известена с трудовете си по абстрактна алгебра и теоретична физика

Теоремата на Ньотер (ТН) гласи, че всяка диференцируема симетрия на действието ${\mathcal {S}}$, притежава съответен закон за запазване. Теоремата е доказана за първи път от математичката Еми Ньотер през 1915 г. и публикувана три години по-късно .

Действието на дадена физическа система се определя от интеграла по времето от лагражевата функция (Лагранжиана), от което чрез принципа на най-малкото действие може да се определи поведението на системата. ТН може да бъде прилагана само за континуални (непрекъснати) и гладки симетрии над дадено физично пространство.

ТН в една физическа система на всяка непрекъсната функция на симетрия съответства определен закон за запазване. Например:

• на еднородността (хомогенността) на времето съответства закон за запазване на енергията (ЗЗЕ),
• на еднородността на пространството съответства закон за запазване на импулса (ЗЗИ),
• на изотропията на пространството съответства закон за запазване на момента на импулса (ЗЗМИ),
• на калибровъчната симетрия съответства закон за запазване на заряда и т. н.

Лагранжев формализъм

Теорема на Еми Ньотер в теория на полето

Нека съществува множество от непрекъснати трансформации на координатите $\mathrm {x^{\mu }}$ в пространството на Минковски ${\mathcal {M}}$ и на полевите функции $\mathrm {u} ^{k}(x)$, зависещи от $r$ параметъра $\mathrm {\omega } ^{a}(a=1,\cdots ,r)$, които при $\mathrm {\omega } ^{a}=0$ се свеждат до единичната (тъждествена) трансформация. Нека също така в околност на $\mathrm {\omega } ^{a}=0$ тези трансформации имат вида :

${\begin{matrix}x^{\lambda }\to x^{\prime \lambda }&=&x^{\lambda }+\Delta x^{\lambda }(x);\ \Delta x^{\lambda }&=&\xi _{a}^{\lambda }(x)\omega ^{a}\\\ \\u^{k}\to u^{\prime k}(x\prime )&=&u^{k}(x)+\Delta u^{k}(x);\ \Delta u^{k}(x)&=&\mathrm {\Psi } _{a}^{k}(x)\omega ^{a}\end{matrix}}$

Нека още производните на действието $\mathrm {S} [u^{\prime k}]$ удовлетворяват за всяка област $V\subset M$ условието

${\frac {\partial S[u^{\prime k}]}{\partial \omega ^{a}}}{\bigg |}_{\omega ^{1}=\cdots =\omega ^{r}=0}={\frac {\partial }{\partial \omega ^{a}}}\int _{V^{1}}{\mathcal {L}}{\bigg (}u^{\prime k},{\frac {\partial u^{\prime k}}{\partial x^{\prime \lambda }}}{\bigg )}\mathrm {d^{4}} x^{\prime }=0$

където $a=1,2,\cdots ,r$, $V\prime$ е трансформираната област $V$ при смяна на координатите, а функциите $u^{k}(x)$ са решения на уравненията на Лагранж – Ойлер

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial u^{k}}}=\partial _{\mu }{\bigg (}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }u_{k})}}{\bigg )}.$

Тогава съществуват

• $r$ на брой векторно-значни функции на $u^{k}$, $\mathrm {\Theta } _{a}^{\mu }(x)$, удовлетворяващи т. нар. условие за запазване:

$\partial _{\mu }\mathrm {\Theta } _{a}^{\mu }(x)=0$, $a=1,2,\cdots ,r$;

• $r$ на брой величини:

$Q_{a}=\int _{S}\mathrm {\Theta } _{a}^{\mu }(x)\mathrm {d} \sigma _{\mu }(x)$,

чиято стойност не зависи от избора на пространствено-подобната повърхност $S$, ако $u^{k}(x)\to 0$, $\partial _{\lambda }u^{k}(x)\to 0$ при $|x^{\mu }|\to \infty$.