В математиката теоремата на Стюартанглийски : Stewart's theorem ) гласи:
Нека е даден триъгълник ABC със страни
A
B
=
c
,
B
C
=
a
,
C
A
=
b
{\displaystyle AB=c,\ BC=a,\ CA=b}
D , лежаща на страната BC . Ако
A
D
=
d
,
B
D
=
m
{\displaystyle AD=d,\ BD=m}
D
C
=
n
{\displaystyle \ DC=n}
a
(
d
2
+
m
n
)
=
m
b
2
+
n
c
2
{\displaystyle a(d^{2}+mn)=mb^{2}+nc^{2}}
D лежи между точките B и C
a
(
d
2
−
m
n
)
=
m
b
2
−
n
c
2
{\displaystyle a(d^{2}-mn)=mb^{2}-nc^{2}}
D лежи отвъд т. C
a
(
d
2
−
m
n
)
=
−
m
b
2
+
n
c
2
{\displaystyle a(d^{2}-mn)=-mb^{2}+nc^{2}}
D лежи отвъд т. B
Теоремата се доказва с помощта на косинусовата теорема .
Точка D лежи върху страната BC.
За точка D,произволна точка лежаща на отсечката BC (AD - медиана):
Нека
∠
B
D
A
=
ϕ
{\displaystyle \angle BDA=\phi }
От косинусова теорема в триъгълниците BDA и CDA получаваме
A
B
2
=
A
D
2
+
B
D
2
−
2.
B
D
.
A
D
.
c
o
s
ϕ
{\displaystyle AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}-2.BD.AD.cos\,\phi }
C
A
2
=
A
D
2
+
C
D
2
−
2.
C
D
.
A
D
.
c
o
s
(
180
−
ϕ
)
{\displaystyle CA^{2}=AD^{2}+CD^{2}-2.CD.AD.cos(180-\,\phi )}
c
o
s
(
180
−
ϕ
)
=
−
c
o
s
ϕ
{\displaystyle cos(180-\,\phi )=-cos\,\phi }
A
B
2
=
A
D
2
+
B
D
2
−
2.
B
D
.
A
D
.
c
o
s
ϕ
{\displaystyle AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}-2.BD.AD.cos\,\phi }
C
A
2
=
A
D
2
+
C
D
2
+
2.
C
D
.
A
D
.
c
o
s
ϕ
{\displaystyle CA^{2}=AD^{2}+CD^{2}+2.CD.AD.cos\,\phi }
A
B
2
.
C
D
=
A
D
2
.
C
D
+
B
D
2
.
C
D
−
2.
C
D
.
B
D
.
A
D
.
c
o
s
ϕ
{\displaystyle AB^{2}.CD=AD^{2}.CD+BD^{2}.CD-2.CD.BD.AD.cos\,\phi }
C
A
2
.
B
D
=
A
D
2
.
B
D
+
C
D
2
.
B
D
+
2.
C
D
.
B
D
.
A
D
.
c
o
s
ϕ
{\displaystyle CA^{2}.BD=AD^{2}.BD+CD^{2}.BD+2.CD.BD.AD.cos\,\phi }
A
B
2
.
C
D
+
C
A
2
.
B
D
=
A
D
2
.
B
D
+
C
D
2
.
B
D
+
A
D
2
.
C
D
+
B
D
2
.
C
D
,
{\displaystyle AB^{2}.CD+CA^{2}.BD=AD^{2}.BD+CD^{2}.BD+AD^{2}.CD+BD^{2}.CD,\,}
Окончателно:
A
B
2
.
C
D
+
C
A
2
.
B
D
=
A
D
2
.
B
D
+
A
D
2
.
C
D
+
C
D
.
B
D
(
C
D
+
B
D
)
{\displaystyle AB^{2}.CD+CA^{2}.BD=AD^{2}.BD+AD^{2}.CD+CD.BD(CD+BD)\,}
