Теорема на Стюарт

В математиката теоремата на Стюарт (на английски: Stewart's theorem) гласи:

Нека е даден триъгълник ABC със страни $AB=c,\ BC=a,\ CA=b$$AB=c,\ BC=a,\ CA=b$ и точка D, лежаща на страната BC. Ако $AD=d,\ BD=m$$AD=d,\ BD=m$ и $\ DC=n$$\ DC=n$, то:

• $a(d^{2}+mn)=mb^{2}+nc^{2}$$a(d^{2}+mn)=mb^{2}+nc^{2}$, ако т. D лежи между точките B и C
• $a(d^{2}-mn)=mb^{2}-nc^{2}$$a(d^{2}-mn)=mb^{2}-nc^{2}$, ако т. D лежи отвъд т. C
• $a(d^{2}-mn)=-mb^{2}+nc^{2}$$a(d^{2}-mn)=-mb^{2}+nc^{2}$, ако т. D лежи отвъд т. B

Теоремата се доказва с помощта на косинусовата теорема.

Точка D лежи върху страната BC.

За точка D,произволна точка лежаща на отсечката BC (AD - медиана):

Нека $\angle BDA=\phi$$\angle BDA=\phi$

От косинусова теорема в триъгълниците BDA и CDA получаваме

$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}-2.BD.AD.cos\,\phi$$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}-2.BD.AD.cos\,\phi$

$CA^{2}=AD^{2}+CD^{2}-2.CD.AD.cos(180-\,\phi )$$CA^{2}=AD^{2}+CD^{2}-2.CD.AD.cos(180-\,\phi )$ От тук и дефиницията за косинус следва $cos(180-\,\phi )=-cos\,\phi$$cos(180-\,\phi )=-cos\,\phi$

$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}-2.BD.AD.cos\,\phi$$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}-2.BD.AD.cos\,\phi$

$CA^{2}=AD^{2}+CD^{2}+2.CD.AD.cos\,\phi$$CA^{2}=AD^{2}+CD^{2}+2.CD.AD.cos\,\phi$ Умножаваме двете страни на първото и второто съответно с CD и BD и събираме почленно. $AB^{2}.CD=AD^{2}.CD+BD^{2}.CD-2.CD.BD.AD.cos\,\phi$$AB^{2}.CD=AD^{2}.CD+BD^{2}.CD-2.CD.BD.AD.cos\,\phi$

$CA^{2}.BD=AD^{2}.BD+CD^{2}.BD+2.CD.BD.AD.cos\,\phi$$CA^{2}.BD=AD^{2}.BD+CD^{2}.BD+2.CD.BD.AD.cos\,\phi$ $AB^{2}.CD+CA^{2}.BD=AD^{2}.BD+CD^{2}.BD+AD^{2}.CD+BD^{2}.CD,\,$$AB^{2}.CD+CA^{2}.BD=AD^{2}.BD+CD^{2}.BD+AD^{2}.CD+BD^{2}.CD,\,$

Окончателно: $AB^{2}.CD+CA^{2}.BD=AD^{2}.BD+AD^{2}.CD+CD.BD(CD+BD)\,$$AB^{2}.CD+CA^{2}.BD=AD^{2}.BD+AD^{2}.CD+CD.BD(CD+BD)\,$