Теорема на Стюарт

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В математиката теоремата на Стюарт (на английски: Stewart's theorem) гласи:


Нека е даден триъгълник ABC със страни и точка D, лежаща на страната BC. Ако и , то:

  • , ако т. D лежи между точките B и C
  • , ако т. D лежи отвъд т. C
  • , ако т. D лежи отвъд т. B

Теоремата се доказва с помощта на косинусовата теорема.

Точка D лежи върху страната BC.

За точка D,произволна точка лежаща на отсечката BC (AD - медиана):

Нека

От косинусова теорема в триъгълниците BDA и CDA получаваме

От тук и дефиницията за косинус следва

Умножаваме двете страни на първото и второто съответно с CD и BD и събираме почленно.

Окончателно: