Трансформация на Хаусхолдер

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

Трансформацията на Хаусхолдер е линейно преобразование на векторното пространство , което представя отражението му спрямо хиперравнина, която преминава през началото на координатната система.

Предложено е в 1958 г. от американският математик Алстон Скот Хаусхолдер (Alston Scott Householder).

Използва се в линейната алгебра за QR декомпозиция на матрица.

Дефиниции[редактиране | редактиране на кода]

Операторът на Хаусхолдер се задава с израза

където:

  • u е нормален вектор към хиперравнина, която преминава през началото на координатната система
  • с е обозначено скаларното произведение в

Матрицата на отражение на Хаусхолдер има вида:

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

  • Матрицата на Хаусхолдер е унитарна ермитова матрица: . В частност, ако елементите на матрицата са реални числа, матрицата на Хаусхолдер е ортогонална матрица .
  • Матрицата на Хаусхолдер е инволюция: .
  • Трансформацията изобразява зададен вектор във вектор
  • Трансформацията на Хаусхолдер има една собствена стойност равна на (-1), която съответства на собствен вектор , всички други собствени стойности са равни на (+1).
  • Детерминантата на матрицата на Хаусхолдер е равна на (-1).

Литература[редактиране | редактиране на кода]

  • Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339 – 342. DOI:10.1145/320941.320947
  • Константинов М. М. Елементи на линейната алгебра: Вектори и матрици, С. Университет по архитектура, строителство и геодезия, 2000 г. 300 с.

Външни препратки[редактиране | редактиране на кода]