Уравнение на Бернули

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Тази статия е за уравнението от механика на флуидите. За диференциалното уравнение вижте диференциално уравнение на Бернули

В механиката на флуидите, принципът на Бернули гласи, че за невискозен флуид, увеличението на скоростта на потока е придружено винаги или с намаляване на налагянето, или с намаляване на потенциалната енергия на флуида. Принципът на Бернули носи името на Даниел Бернули, швейцарски математик и физик, който го публикува за пръв път в неговата книга Hydrodynamica през 1738 г.[1].

Принципът на Бернули важи както за свиваеми флуиди (въздух), така и за несвиваеми (каквито са повечето течни потоци). Връзката между увеличение на скоростта и намаляне на налягането е вярна само за потоци с ниско махово число, т.е. скорост на потока по-малка от скоростта на звука в дадената среда.

Принципът на Бернули се извежда от Закона за запазване на енергията, който гласи, че във всяка точка от дадена токова линия пълната механична енергия е една и съща, т.е. сборът от всички енергии е константа. Оттам, увеличение на скоростта на флуида води до увеличаване на кинетичната енергия, следователно до намаляне на налягането или потенциалната енергия.

Формулировка за несвиваем флуид[редактиране | edit source]

Уравнението на Бернули, което може да бъде приложено за всеки флуиден елемент по протежението на дадена токова линия, се записва обичайно:

{v^2 \over 2}+gz+{p\over\rho}=\text{constant}

където :

v\, е скоростта на потока в дадената точка,
g\, е земното ускорение
z\, е височината над земната повърхност, която расте обратно на геопотенциала
p\, е налягането и
\rho\, е плътността на флуида.

Това уравнение се обобщава за флуид в потенциала на коя да е консервативна сила:

{v^2 \over 2}+\Psi+{p\over\rho}=\text{constant}

където \Psi е потенциалът на полето. Двете уравнения са еквивалентни за гравитационния потенциал, който се записва Ψ = gz за материални точки близо до земната повърхност (т.е. височината z << RЗемя, където RЗемя е радиусът на Земята).

Това уравнение е валидно в рамките на двете хипотези, под които е изведено:

  • Флуидът е несвиваем, т.е. плътността е постоянна по продължение на токовата линия и
  • Триенето, предизвикано от вискозните сили е пренебрежимо.

Свиваем флуид[редактиране | edit source]

За свиваем флуид с баротропично уравнение на състоянието, уравнението на Бернули придобива вида:

\frac {v^2}{2}+ \int_{p_1}^p \frac {d\tilde{p}}{\rho(\tilde{p})}\ + \Psi = \text{constant}[2] (константа по протежение на токовата линия)

където:

p е налягането,
ρ - плътността,
v - скоростта на потока и
Ψ е потенциалът на консервативната сила.

Често разглежданите флуиди са адиабатични (разглежданите явления протичат достатъчно бързо, че увеличението на ентропията да може да се пренебрегне). Тогава, горното уравнение придобива вида:

\frac {v^2}{2}+ gz+\left(\frac {\gamma}{\gamma-1}\right)\frac {p}{\rho}   = \text{constant}[3] (константа по протежение на токовата линия)

Новите величини в горното уравнение са:

γ - адиабатичен индекс; отношението cp/cv, където cp r cv са съответно специфични топлинни капацитети при постоянно налягане и постоянен обем,
g е земното ускорение и
z е височината на флуидния елемент над земната повърхност.

Външни препратки[редактиране | edit source]

Източници[редактиране | edit source]

  1. Hydrodynamica. Britannica Online Encyclopedia. Посетен на 25 ноември 2012
  2. Clarke C. and Carswell B., Astrophysical Fluid Dynamics
  3. Clancy, L.J., Aerodynamics, Section 3.11