Факториел

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Факториел е функция на цялото число n (), равна на произведението на всички естествени числа, по-малки или равни на n.

Така,

Например:

  • 5! = 5*4*3*2*1 = 120
  • 10! = 10*9*8*7*...*2*1 = 3628800
  • По конвенция, 0! = 1

Рекурсивно задаване на функцията факториел[редактиране | редактиране на кода]

Факториел може да бъде определена и чрез рекурсия, т.е. n! може да се изрази чрез факториел от естествени числа, по-малки от n:

  • n!=(n-1)!·n

Използвайки началната стойност 1! =1 и рекурсивното задаване на функцията, можем да я изчислим за всяка стойност на n∈ℕ.

Произволни реални и комплексни числа[редактиране | редактиране на кода]

Факториелът може да се определи и за произволното комплексно число z, по същия начин, както се определя факториела за естествени числа, но се нарича Гама-функция на Ойлер:

която може и да се определи като : , а предното определение следва от това след интегриране по части. Въведеното от самия Ойлер определение е:

, а днес използваното дължим на Адриан Мари Льожандър.

Интересно следствие от тези определения е, че


Приложения[редактиране | редактиране на кода]

Използва се в теорията на числата (например за изразяване на коефициентите на Нютоновия бином), при разлагането на аналитичните функции, например синус и косинус, в ред на Тейлър, което позволява практическото им изчисление с дадена точност, и т.н.

Външни връзки[редактиране | редактиране на кода]