Формула на Хорнер

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Формула на Хорнер, още известна като Схема на Хорнер или Правило на Хорнер е алгоритъм за изчисляване на полиноми, който се състои от трансформирането на полинома с цел залагането му на множители. Този метод е кръстен на британския математик Уилям Джордж Хорнър, въпреки че е бил известен преди него на Паоло Руфини, както и шестстотин години по-рано, на китайския математик Чин Жиушао.

Същност[редактиране | редактиране на кода]

Имайки полинома:

където са реални числа, искаме да изчислим полинома за специална стойност на , нека е .

За да го направим, полагаме:

Тогава е стойността на .

Това се получава, като запишем полинома в такъв вид:

След това, замествайки с се получава,

Изполване на схема на Хорнер за разлагане на многочлен на бином[редактиране | редактиране на кода]

При делението на многочлена на се получава с остатък .

При тези коефициенти резултатите от полиномите отговарят на следните отношения:

, .
По същия начин, може да се определи кратността на корените (използва се схема на Хорнер за нов полином). Можете също да използвате схемата за намиране на коефициентите чрез разлагането на полинома с :

Пример 1[редактиране | редактиране на кода]

Пресметнете за

Използваме метода на синтезирано деление, както следва:

 x₀│ x³ x² x¹ x⁰
 3 │ 2 −6 2 −1
   │ 6 0 6
   └────────────────────────
       2 0 2 5

Числата от третия ред да сумите от тези в първите два. Всяко число от втория ред е произведението от стойността на х (в случая 3) с числата от ляво от третия ред. Числата от първия ред са коефициентите на полинома. Остатъкът на при деление на е 5.

По теорема знаем, че остатъка е равен на . Следователно

В този пример, ако виждаме, че , числата от третия ред.

Пример 2[редактиране | редактиране на кода]

Разложете на :

 2 │ 1 -6 11 -6
   │ 2 -8 6
   └────────────────────────
       1 -4 3 0

Получава се квадратния тричлен .

Нека и . Разлагаме на чрез схемата на Хорнер.

  2 │ 4 -6 0 3 │ -5
────┼──────────────────────┼───────
  1 │ 2 -2 -1 │ 1
    │ │
    └──────────────────────┼───────
       2 -2 -1 1 │ -4

Третият ред е сумата от другите два реда, разделена на 2. Всяко число от втория ред е произведението на 1 с числото от ляво на третия ред. Отговорът е:

Източници[редактиране | редактиране на кода]