Хилбертово пространство

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Хилбертово пространство (ХП) е понятие в математиката обобщаващо Евклидовото пространство. Наречено е на Давид Хилберт, който пръв въвежда концепцията за безкрайномерно Евклидово пространство през 1909 г.

Хилбертовото пространство разширява методите на векторната алгебра от двумерната равнина и тримерното пространство към многомерните пространства.

Ако трябва да го дефинираме с по-строги математически термини, Хилбертовото пространство е векторно пространство, в което разстоянията и ъглите могат да бъдат измерени и, което е пълно. Тоест за всяка редица от вектори на Коши съществува граница в пространството.

В общия случай ХП е безкрайномерно, линейно и векторно пространство над комплексните числа със скаларно произведение, относно което то е пълно.

Пространствата на Хилберт се използват широко в математиката и физиката. Те са изключително важен инструмент в теорията на частните диференциални уравнения, квантовата механика и обработката на сигнали. Благодарение на тази теория бяха достигнати много успехи в областта на функционалния анализ.

Геометрическата интуиция играе важна роля в много от насоките на Хилбертовото пространство. Елемент от Хилбертово пространство може да бъде еднозначно зададен посредством координатите спрямо ортонормирана координатна система, по аналогия с декартовите координати в равнината. Когато базовата координатна система е безкрайна, това означава че Хилбертовото пространство е безкрайна последователност от квадратни суми. Линейните оператори в Хилбертово пространство са съвсем конкретни обекти. В най-добрите случаи те са трансформации, които разширяват пространството с даден фактор във взаимно перпендикулярни посоки.

Дефиниция и примери[редактиране | редактиране на кода]

Пространство на Хилберт е реално или комплексно векторно пространство, което е пълно и в което модула се определя от скаларното произведение посредством формулата:

.

Събиране[редактиране | редактиране на кода]

Две Хилбертови пространства H1 и H2 могат да бъдат комбинирани в едно общо Хилбертово пространство, наричано директна ортогонална сума и обозначавано като:

,

състоящо се от множеството от всички подредени двойки (x1, x2) където xi ∈ Hi, i = 1,2, и скаларното произведение

.

Най-общо ако Hi е фамилия от Хилбертови пространства индексирани по i ∈ I, тогава директната сума от Hi се означава като:

състояща се от множеството от всички индексирани фамилии

от Декартови произведения от Hi, такива че

.

Скаларно произведение се нарича

.

Всяко от пространствата Hi е включено като затворено подпространство в директните суми на всички Hi.

Нещо повече, пространствата Hi са взаимно ортогонални.

Източници[редактиране | редактиране на кода]


Вижте също[редактиране | редактиране на кода]