Ъглополовяща

Ъглополовящата (наричана още бисектриса) в геометрията е лъч, вътрешен за даден ъгъл, който дели този ъгъл на две равни части. Основно свойство на ъглополовящата е, че всяка нейна точка е на равни разстояния до раменете на този ъгъл. Вярно е и обратното твърдение: ако всяка точка от даден лъч е на равни разстояния от раменете на даден ъгъл, то той е негова ъглополовяща.

Като елемент в един триъгълник, ъглополовящата на даден негов ъгъл е отсечката с краища съответния връх и пресечната точка на ъглополовящата със срещулежащата му страна. Ъглополовящата обикновено се бележи с латинската буква $l$ (ел).

• В равнобедрения триъгълник ъглополовящата, спусната от ъгъла към основата съвпада с височината, медианата и симетралата, пуснати към нея.
• В равностранния триъгълник ъглополовящите, спуснати от всеки от ъглите му, съвпадат със спуснатите от тях височини, медиани и симетрали.
• В ромба и в частност в квадрата ъглополовящи са и диагонали.
• Трите ъглополовящи в произволен триъгълник се пресичат в една точка, която е и център на вписаната окръжност в триъгълника.
• Всяка точка от ъглополовящата е на равни разстояния от бедрата.
• В триъгълник със страни a, b и c и ъглополовяща l_c е в сила формулата:

$l_{c}={\sqrt {ab-{\frac {abc^{2}}{(a+b)^{2}}}}}$

Теорема за ъглополовящата

${\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}$ или ${\frac {BD}{AB}}={\frac {CD}{AC}}$.

Ъглополовящата на вътрешен ъгъл на триъгълника дели противоположната страна в отношение, равно на отношението на двете прилежащи страни: ${\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}$ или ${\frac {BD}{AB}}={\frac {CD}{AC}}$.

Важи и обратното правило: Ако D е точка от страната BC на триъгълника ABC и $BD/DC=AB/AC$, то AD е ъглополовяща на ъгъл CAB.