Ядро на Дирихле

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В хармоничния анализ, ядрото на Дирихле е редица от функции DN(t), зададена по следния начин

D_N(x)=\sum_{n=-N}^N
e^{int}=1+2\sum_{n=1}^n\cos(Nt)=\frac{\sin\left(\left(N +\frac{1}{2}\right)t\right)}{\sin(t/2)}.

Носи името на Йохан Петер Густав Лежон Дирихле.

Ядрото на Дирихле играе важна роля в изучаването на редовете на Фурие. Конволюцията на DN с f\in L^1(\mathbb{T}) дава приближение от степен N на реда на Фурие на f, т.е.

(D_n*f)(t)=\sum_{n=-N}^N \hat{f}(n)e^{int},

където

\hat{f}(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)e^{-int}\,dt

е n-тия коефициент на Фурие на f. От горното следва, че за да се изследват сходимостта на реда на Фурие, е достатъчно да се изледват свойствата на ядрото на Дирихле. Особено важно свойство е, че нормата на Dn в L1 клони към безкрайност, когато n\rightarrow\infty. Оценката е

\| D_n \| _{L^1} \approx \log n

Липсата на сумируемост в този случай води до интересни явления при редовете на Фурие. Може да се докаже например, че редът на Фурие на непрекъсната функция е разходящ в дадена точка.

Забележка[редактиране | edit source]

Ядрото на Дирихле не е сумиращо ядро.