Случайна величина

Случайна величина е променлива, чиито стойности представляват числените резултати от някакво случайно явление или експеримент. С други думи, това е числов израз на резултата от случайно събитие.

В математиката и по-специално в теорията на вероятностите и статистиката, случайната величина се използва за моделирането и изучаването на конкретни аспекти, принадлежащи на даден случаен експеримент.

Случайната величина в математиката обикновено се обозначава с буквите $X$ или ξ (кси). Ако се определи случайната величина по-стриктно, тогава това е функция $y=$ ξ (ω), чиито стойности числено изразяват резултатите ω на случаен експеримент. Едно от изискванията за тази функция е нейната измеримост, която служи за отсяване на онези случаи, когато стойностите на функцията ξ (ω) са безкрайно чувствителни към най-малките промени в резултат от случаен експеримент. Ако $X$ е една случайна величина, то тогава функционалните стойности $X(\omega )$ се наричат нейни реализации.

Важни характеристики на случайните величини са математическото очакване и дисперсията.

Дефиниция

Случайна величина $X$ се нарича измеримата функция $X=X(\omega )$, зададена върху вероятностното пространство $(\Omega ,{\mathfrak {A}},P)$, която изобразява множеството на елементарните събития $\Omega$, $\omega \in \Omega$, в множеството на реалните числа $R$..

Интерпретация на дефиницията

• Една функция $X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ е случайна величина тогава, когато множеството, дефинирано чрез първообраза на функцията $X^{-1}([-\infty ,x])$ за всяко $x\in \mathbb {R}$ е събитие, т.е. представлява елемент от алгебрата на събитията ${\mathfrak {A}}$.
• Забележете, че случайните величини са функции, а не променливи, както се приема в общия смисъл.
• За случайната величина $X$, вероятностите $P(\{\omega \in \Omega :X(\omega )\leq x\})$ са добре дефинирани.

Означение

• За $X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ и $B\subseteq \mathbb {R}$, събитието $\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in B\}$ се означава накратко с $\{X\in B\}$.
• Също така за $x\in \mathbb {R}$ се използват кратките означения $\{X\leq x\}$, съответно $\{X\in ]-\infty ,x]\}$ вместо $\{\omega \in \Omega :X(\omega )\leq x\}$.

Функция на разпределение на случайна величина

• Функцията на разпределение $F_{X}:\mathbb {R} \rightarrow [0,1]$ на една случайна величина $X$ върху вероятностното пространство $(\Omega ,{\mathfrak {A}},P)$ е дефинирана като

$F_{X}(x)=P(\{X<x\})$.

Следователно функцията на разпределение на случайната величина $X$ е равна на вероятността стойността на случайната величина $X$ да е по-малка от $x$, $x\in R$

Ако пространството на резултата е равно на множеството от всички възможни комбинации от точки на два зара и случайната променлива е равна на сумата от тези точки, тогава S е дискретна случайна величина, чието разпределение се описва от функция на вероятността, чиято стойност е изобразена като височина на съответната колона.

Примери

Дискретна случайна величина

Примери за дискретна случайна величина са показания на скоростомера или измервания на температура в определени моменти от времето.

• Хвърляне на монета
• Хвърляне на зарове
• Тесте карти

Абсолютно непрекъсната случайна величина

• Височина и тегло на случаен минувач
• Тегло и обем на произволно взето количество

Приложение

Пример за обекти, които изискват използването на случайни величини, за да представят състоянието си, са микроскопичните обекти, описани от квантовата механика. Случайните величини описват събитията на предаване на наследствени характеристики от родителски организми към техните потомци (вижте Закони на Мендел). Случайни са и събитията на радиоактивен разпад на атомни ядра.

Има редица задачи в математическия анализ и теорията на числата, за които е препоръчително да се разглеждат функциите, включени в техните формулировки, като случайни променливи, дефинирани в подходящи вероятностни пространства.