Ред на Тейлър: Разлика между версии
м Общи промени |
|||
Ред 88: | Ред 88: | ||
== Външни препратки == |
== Външни препратки == |
||
* [http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html Ред на тейлър в MathWorld] |
* [http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html Ред на тейлър в MathWorld] |
||
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_3.html История на Мадхава Сангамаграма |
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_3.html История на Мадхава Сангамаграма] |
||
* [http://www.risklatte.com/features/quantsKnow051020.php Значение на реда на Тейлър] |
* [http://www.risklatte.com/features/quantsKnow051020.php Значение на реда на Тейлър] |
||
* [http://stud3.tuwien.ac.at/~e0004876/taylor/Taylor_en.html Графична визуализация на редове на Тейлър] |
* [http://stud3.tuwien.ac.at/~e0004876/taylor/Taylor_en.html Графична визуализация на редове на Тейлър] |
Версия от 09:42, 24 март 2020
Ред на Тейлър или развитие по Тейлър е апроксимация на реална или комплексна функция чрез представянето ѝ като безкраен ред с общ член, изчислен от стойностите на производните на функцията в дадена точка. Това е възможно като пряко следствие на теоремата на Тейлър.
Ако функцията е безброй пъти диференцируема в отворения интервал (a − r, a + r), тогава нейното развитие по Тейлър е степенният ред
(тук f(n)(a) e n-тата производна на функцията, като нулевата е самата функция).
Редът е кръстен на английския математик Брук Тейлър. В случая, когато a = 0, редът се нарича ред на Маклорен на името на шотландския математик Колин Маклорен (Colin Maclaurin).
Функции, които са точно равни на развитието си в ред на Тейлър в произволна точка a, се наричат аналитични функции. Пример за такива са тригонометричните функции синус и косинус. Редът на Тейлър може да се използва, за да се получат всички стойности на аналитична функция, ако се знаят нейната стойност и стойностите на всичките ѝ производни в дадена точка.
На графиката вдясно е илюстрирано развитието по Тейлър за функцията y = sinx. Жълтата крива е от седма степен и е графика на
Редът на Тейлър се използва широко в приложната математика и математическия анализ. Някои от приложенията му са:
- директно получаване на приблизителна стойност на функция;
- доказателство на теореми от математическия анализ.
История
Най-ранното използване на степенни редове, включително и някои развития по Тейлър, датира от XIV в. от индийския математик Мадхава Сангамаграма. Той използва апроксимации по Тейлър за синус, косинус, тангенс и аркустангенс, но не генерализира редовете.
В края на XVII в. Джеймс Грегъри също работи в тази посока и публикува няколко реда на Маклорен, но не вижда обобщението.
През 1715 г. Брук Тейлър доказва и генреализира теоремата си, пряко следствие на която е този обобщен ред.
Колин Маклорен изследва специалния случай във втората половина на XVII в.
Развитие на някои прости функции
- където B са числа на Бернули.
- където E са числа на Ойлер.
Изчисляване
Има редица методи за изчисляване на реда на Тейлър за достатъчно голям брой функции. Редът може да се ползва така, както е даден за основните функции, а усилията да се насочат в генерализирането на коефициентите. Освен това, тъй като редът на Тейлър в общия случай е степенен, може да се използват неговите свойства за свободно умножение, деление, събиране и изваждане на основните редове. В някои случаи най-доброто решение е редът да се интегрира последователно няколко пъти.