Естествено число: Разлика между версии
Корекции за 0∈N |
м забравена скоба →Записване |
||
Ред 12: | Ред 12: | ||
* за целите неотрицателни числа: '''Z'''<sup>+</sup><sub>0</sub> или <math>\mathbb{Z}^{+}_{0}</math>, където <math>\mathbb{Z}</math> е множеството на целите числа. |
* за целите неотрицателни числа: '''Z'''<sup>+</sup><sub>0</sub> или <math>\mathbb{Z}^{+}_{0}</math>, където <math>\mathbb{Z}</math> е множеството на целите числа. |
||
По конвенция в онези дялове на [[математика]]та, в които се набляга предимно на мултипликативните свойства на естествените числа — напр. в [[Теория на числата|теорията на числата]] — под <math>\mathbb{N}</math> се разбира <math>\mathbb{Z}^{+}</math>. Където пък естествените числа се използват предимно за броене — напр.[[комбинаторика]], [[математическа логика]], [[теория на множествата]] |
По конвенция в онези дялове на [[математика]]та, в които се набляга предимно на мултипликативните свойства на естествените числа — напр. в [[Теория на числата|теорията на числата]] — под <math>\mathbb{N}</math> се разбира <math>\mathbb{Z}^{+}</math>. Където пък естествените числа се използват предимно за броене — напр.[[комбинаторика]], [[математическа логика]], [[теория на множествата]] и [[информатика]] — <math>\mathbb{N}</math> по-често означава <math>\mathbb{N}^{0}</math>. Според международния стандарт [[ISO 80000-2]] множеството <math>\mathbb{N}</math> на естествените числа включва нулата. |
||
== Математическа аксиоматизация == |
== Математическа аксиоматизация == |
Версия от 13:03, 10 октомври 2020
За информацията в тази статия или раздел не са посочени източници. Въпросната информация може да е непълна, неточна или изцяло невярна. Имайте предвид, че това може да стане причина за изтриването на цялата статия или раздел. |
В математиката естествено число е цяло положително число (1, 2, 3, …).
Естествените числа се използват при броенето („На масата има 3 ябълки“) и при номерацията („Той завърши на 3-то място“).
Записване
Математиците използват N за представяне множеството на естествените числа. По определение това множество е безкрайно и изброимо. За да се избегне объркването дали нулата се включва или не, се използват следните записвания:
- за естествените числа: N или
- за целите положителни числа: Z+ или , където е множеството на целите числа.
- за целите неотрицателни числа: Z+0 или , където е множеството на целите числа.
По конвенция в онези дялове на математиката, в които се набляга предимно на мултипликативните свойства на естествените числа — напр. в теорията на числата — под се разбира . Където пък естествените числа се използват предимно за броене — напр.комбинаторика, математическа логика, теория на множествата и информатика — по-често означава . Според международния стандарт ISO 80000-2 множеството на естествените числа включва нулата.
Математическа аксиоматизация
Следва точнa математическа аксиоматизация на естествените числа, предложенa от Джузепе Пеано през 1889. Тези изказвания са познати като аксиоми на Пеано.
- 0 е естествено число.
- Всяко естествено число a има наследник a+1, който също е естествено число.
- Няма естествено число, чийто наследник е 0.
- Ако две естествени числа са различни, тогава и наследниците им са различни: ако a≠b, тогава a+1≠b+1.
- Ако за едно подмножество на естествените числа A важи: 0 ∈ A и за всяко a ∈ A важи a+1 ∈ A, то множеството A е равно на множеството на естествените числа. (Тази аксиома осигурява правилността на математическата индукция като доказателствен метод).
В теорията на множествата се използва следната конструкция на естествените числа, предложена от Джон фон Нойман:
- 0 := {}
- 1 := {0} = {{}}
- 2 := {0, 1} = {{}, {{}}}
- 3 := {0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
- n+1 := {0, 1,..., n} = n U {n}
Всяко от естествените числа се представя като мощността на съответното множество.
Според това определение множеството n съдържа точно n елемента и n ≤ m тогава и само тогава, когато n е подмножество на m.
Въпреки че тази конструкция е доста удачна, тя не е единствената възможна. Например:
- 0 := {}
- n+1 := {n}
Тогава 1 := {0} = {{}}, 2 := {1} = {{{}}} и т.н.
Основни свойства
- Комутативност на събирането: a + b = b + a.
- Комутативност на умножението: ab = ba.
- Асоциативност на събирането: (a + b) + c = a + (b + c).
- Асоциативност на умножението: (ab)c = a(bc).
- Дистрибутивност на умножението относно събирането: a(b+c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca.