Вектор

В математиката и физиката вектори се наричат елементите на линейните пространства. Най-често те се отъждествяват с координатните си представяния като наредени $n$-орки от съответното числово поле. Така евклидовите пространства $\ \mathbb {R} ^{2}$ и $\ \mathbb {R} ^{3}$ се отъждествяват със съответно евклидовите равнина - $(x,y)$, и пространство - $(x,y,z)$, където $x$, $y$ и $z$ са реални числа.

В математиката, физиката и инженерството, евклидов вектор (понякога наричан геометричен или пространствен вектор) или просто вектор е геометричен обект, който има величина (или дължина) и посока и може да бъде добавен към други вектори, съгласно с векторната алгебра. В евклидовата геометрия векторът често се представя от част от линия с определена посока.

Определение

В аналитичната геометрия се използват следните определения за вектор в равнината и пространството. - Отсечка, на която единият край е избран за първи (начало), а другият за втори (край) наричаме насочена отсечка (свързан вектор). Множеството от всички насочени отсечки, равни на дадена насочена отсечка ${\overrightarrow {AB}}$ наричаме вектор (свободен вектор), породен от насочената отсечка ${\overrightarrow {AB}}$. Всяка от тези насочени отсечки ${\overrightarrow {AB}}={\vec {a}}$ наричаме представител на вектора ${\vec {a}}$.

Във всяка точка всеки вектор има точно един представител. Посока и дължина на вектор наричаме посоката и дължината на кой да е негов представител. Нулев вектор ${\vec {0}}$ – има за представител коя да е нулева насочена отсечка, т.е. той няма посока и има дължина 0. За краткост, ако ${\vec {a}}={\overrightarrow {AB}}$ или ${\overrightarrow {AB}}={\vec {a}}$ разбираме, че е даден вектор с представител насочената отсечка ${\overrightarrow {AB}}$, т.е. ${\overrightarrow {AB}}\in {\vec {a}}$

• Нулева насочена отсечка – началната точка А съвпада с крайната точка В
• Ненулева насочена отсечка – началната точка А не съвпада с крайната точка В
• Дължина – на насочената отсечка ${\overrightarrow {AB}}$ наричаме дължината на отсечката $AB$. Бележим $\Vert {\overrightarrow {AB}}\Vert$ или $|{\overrightarrow {AB}}|$

Елементи на ненулевия вектор

• начало – точка А
• край – точка В
• посока – посоката на лъча ${\overrightarrow {AB}}$
• директриса – правата АВ
• дължина – дължината на АВ

Еднопосочни и противопосочни вектори

• Два ненулеви вектора са еднопосочни, т.е ${\overrightarrow {AB}}\uparrow \uparrow {\overrightarrow {CD}}$, ако лъчите ${\overrightarrow {AB}}$ и ${\overrightarrow {CD}}$ са еднопосочни
• Две ненулеви отсечки са противопосочни, т.е. ${\overrightarrow {AB}}\uparrow \downarrow {\overrightarrow {CD}}$, ако лъчите ${\overrightarrow {AB}}$ и ${\overrightarrow {CD}}$ са разнопосочни

Свойства на ненулевите вектори

• Всяка насочена отсечка е равна на себе си;
• Ако ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {CD}}$, то и ${\overrightarrow {CD}}={\overrightarrow {AB}}$;
• Ако ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {CD}}$ и ${\overrightarrow {CD}}={\overrightarrow {EF}}$, то ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {EF}}$.

Насочена права

Ос (насочена права) х наричаме права, на която едната от двете ѝ посоки е избрана за положителна, а другата – за отрицателна.

Алгебрична мярка

Алгебрична мярка (относителна стойност) АВ^— на ненулевата насочена отсечка АВ^→ върху ос наричаме дължина на вектор, взета със знак плюс (+) или минус(-) в зависимост от това дали посоката ѝ съвпада с положителната или отрицателната посока на оста, т.е алгебричната мярка е реално число, като ${\overrightarrow {AB}}=+\Vert {\overrightarrow {AB}}\Vert$ или ${\overrightarrow {AB}}=-\Vert {\overrightarrow {AB}}\Vert$

Действия с вектори

множеството от всички насочени отсечки, равни на дадена насочена отсечка АВ^→

Видове вектори

• Векторът $-{\vec {a}}$ с представител ${\vec {BA}}$ наричаме противоположен на вектора ${\vec {a}}$ с представител ${\overrightarrow {AB}}$.
• Колинеарни са група вектори, които лежат на една права или на успоредни прави.
• Компланарни са група вектори, които лежат в една равнина или в успоредни равнини. Всяка двойка вектори е компланарна.

Действия с вектори в равнината

Равенство

${\vec {a}}={\vec {b}}\Leftrightarrow \Vert {\vec {a}}\Vert =\Vert {\vec {b}}\Vert \Leftrightarrow {\vec {a}}\uparrow \uparrow {\vec {b}}$

Сума

• Правило на триъгълника:

${\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}$

• Правило на успоредника:

${\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AC}}$

• Правило на многоъгълника:

${\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {CD}}+{\overrightarrow {DE}}+{\overrightarrow {EF}}={\overrightarrow {AF}}$

Сборът на векторите ${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$

• Свойства:

${\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}$

$({\vec {a}}+{\vec {b}})+{\vec {c}}={\vec {a}}+({\vec {b}}+{\vec {c}})$

${\vec {a}}+{\vec {0}}={\vec {a}}$

${\vec {0}}+(-{\vec {a}})=-{\vec {a}}$

${\vec {a}}+(-{\vec {a}})={\vec {a}}-{\vec {a}}={\vec {0}}$

Разлика

• От правилото на триъгълника и правилото на успоредника следва:

${\vec {a}}-{\vec {b}}={\vec {a}}+(-{\vec {b}})$

Разликата на векторите ${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$

Произведение

Произведение на вектор ${\vec {a}}\neq {\vec {0}}$ с число $\lambda \in \mathbb {R}$ наричаме вектора $\lambda {\vec {a}}$ с дължината $\Vert \lambda {\vec {a}}\Vert =\Vert \lambda \Vert \ \Vert {\vec {a}}\Vert$ и с посока:

• $\lambda {\vec {a}}\uparrow \uparrow {\vec {a}}$, ако $\lambda >0$

• $\lambda {\vec {a}}\uparrow \downarrow {\vec {a}}$, ако $\lambda <0$

Ако $\lambda =0$ или ${\vec {a}}={\vec {0}}$, то $\lambda {\vec {a}}={\vec {0}}$.

Свойства на произведението

$\lambda (\mu {\vec {a}})=(\lambda \mu ){\vec {a}}$

$(\lambda +\mu ){\vec {a}}=\lambda {\vec {a}}+\mu {\vec {a}}$

$\lambda ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda {\vec {a}}+\lambda {\vec {b}}$

Вектори в пространството

Векторна база в пространството

Определение

Нека ${\vec {a}}{,~}{\vec {b}}{,~}$ и ${\vec {c}}$ са ненулеви вектори в пространството и точка О е произволна точка. Нека ${\overrightarrow {OA}}={\vec {a}}{,~}{\overrightarrow {OB}}={\vec {b}}{,~}{\overrightarrow {OC}}={\vec {c}}{.}$

Векторите ${\vec {a}}{,~}{\vec {b}}{,~}{\vec {c}}{.}$ се наричат компланарни, ако точките О, А, В и С лежат в една или в успоредни равнини.

Ако лежат в различни равнини, те се наричат некомпланарни. Прието е нулевият вектор да е компланарен с произволна двойка вектори.

Два неколинеарни вектора образуват векторна база в равнината, а три некомпланарни вектора образуват векторна база в пространството.

Теореми

Ако векторите ${\vec {a}}{,~}{\vec {b}}{,~}{\vec {c}}$ образуват база $\{{\vec {a}}{;~}{\vec {b}}{;~}{\vec {c}}\}$ в пространството, то за всеки вектор съществува единствено базисно представяне в тази база.

Следствие: Ако $\{{\vec {a}}{;~}{\vec {b}}{;~}{\vec {c}}\}$ е векторна база в пространството, то равенство от вида $\alpha {\vec {a}}+\beta {\vec {b}}+\gamma {\vec {c}}={m}{\vec {a}}+{n}{\vec {b}}+{p}{\vec {c}}$ е възможно тогава и само тогава, когато $\alpha ={m}{,~}\beta ={n}{,~}\gamma ={p}$.

Скаларно произведение на два вектора

Скаларно произведение на два ненулеви вектора ${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$ е числото $\Vert {\vec {a}}\Vert \ \Vert {\vec {b}}\Vert \ \cos {\angle {({\vec {a}},\ {\vec {b}})}}$, където $\cos {\angle {({\vec {a}},\ {\vec {b}})}}$ е косинусът на ъгъла между двата вектора, a $\Vert {\vec {a}}\Vert$ и $\Vert {\vec {b}}\Vert$ са дължините на векторите. Ъгълът може да приема стойности в интервала $\left[{0^{\circ },\ 180^{\circ }}\right]$. Лесно може да се покаже, че ${\vec {a}}\perp {\vec {b}}\Leftrightarrow {\vec {a}}{.}{\vec {b}}=0$

Векторно произведение на два вектора

Векторно произведение на два вектора е вектор, чиято дължина е равна на произведението от дължините на двата вектора и синусът на ъгъла между тях. Самото векторно произведение се дефинира така: ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\Vert {\vec {a}}\Vert \ \Vert {\vec {b}}\Vert \sin \angle ({\vec {a}},\ {\vec {b}})\mathbf {\hat {n}}$